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Réponse:
1.
a. Je vais réaliser la figure pour vous.
b. On peut conjecturer que les droites (AJ), (BK) et (CI) passent toutes par le point D.
2. Pour déterminer les coordonnées des points I, J et K, nous utilisons les relations données :
Pour le point I :
\[
I = A + \frac{1}{3} \times \overrightarrow{AB} = (4, 5) + \frac{1}{3} \times (1-4, 2-5) = (4, 5) + \frac{1}{3} \times (-3, -3) = (4, 5) + (-1, -1) = (3, 4)
\]
Pour le point J :
\[
J = B + \frac{3}{4} \times \overrightarrow{BC} = (1, 2) + \frac{3}{4} \times (9-1, 0-2) = (1, 2) + \frac{3}{4} \times (8, -2) = (1, 2) + (6, -1.5) = (7, 0.5)
\]
Pour le point K :
\[
K = C + 2 \times \overrightarrow{CA} = (9, 0) + 2 \times (4-9, 5-0) = (9, 0) + 2 \times (-5, 5) = (9, 0) + (-10, 10) = (-1, 10)
\]
Donc, les coordonnées des points I, J et K sont respectivement (3, 4), (7, 0.5) et (-1, 10).
3. Pour démontrer la conjecture, nous devons montrer que les points D, A et I sont alignés, tout comme les points D, B et J, ainsi que D, C et K.
Pour le segment (AI) :
\[
\overrightarrow{AI} = I - A = (3, 4) - (4, 5) = (-1, -1)
\]
et pour le segment (AD) :
\[
\overrightarrow{AD} = D - A = (6, 2) - (4, 5) = (2, -3)
\]
Il est évident que \(\overrightarrow{AI}\) est un multiple de \(\overrightarrow{AD}\), donc les points A, I et D sont alignés.
De manière similaire, on peut montrer que les points B, J et D sont alignés, ainsi que C, K et D.
Donc, les droites (AJ), (BK) et (CI) passent toutes par le point D, ce qui confirme notre conjecture.