exercice 1
a) une suite arithmétique est de la forme U(n+1) = Un + r
or U(n+1) = (Un²-49)/(Un+7)
U(n+1) = (Un²-7²)/(Un+7)
U(n+1) = (Un-7)(Un+7)/(Un+7)
U(n+1) = (Un-7)
Donc la suite (Un) est une suite arithmétique de raison r = -7
b) Nous avons que (Un) est une suite arithmétique de raison -7
or si la raison d'un suite arithmétique est < 0 alors cette suite est décroissante donc (Un) est décroissante.
c) Par définition une suite arithmétique est de la forme Un = U0 +nr donc
Un = 1-7n
d) U29 = 1-(7 x 29)
U29 = -202
e) la Somme des n premiers termes d'une suite arithmétique est :
Sn = nombre de termes x (premier terme+dernier terme)/2
Sn = n x (Uo+U(n-1))/2
S30 = 30 x (U0+U29)/2
S30 = 30 x (1-202)/2
S30 = 30 x (-201)/2
S30 = 15 x -201
S30 = 30 x -208/2
S30 = 30 x -104
S30 = -3015
Exercice 2
U0 = 2 et Un+1 = 3Un -5
a) U1 = 3U0-5 = 3x2 -5 = 6-5 = 1
U2 = 3U1-5 = 3x1 -5 = 3-5 = -2
U3 = 3U2 - 5 = 3x-2 -5 = -6-5 = -11
b) U1-U0 = 2-1 = -1
U2-U1 = -2-1 = -3
U3-U2 = -11+2 = -9
la différence U(n+1)-Un n'est pas une constante donc Un n'est pas une suite arithmétique
U1/U0 = 1/2 = 2
U2/U1 = -2/1 = -2
U3/U2 = -11/-2 = 11/2
U(n+1)/Un n'est pas une constante donc Un n'est pas une suite géométrique
c) Vn = Un -5/2
V(n+1)/Vn = [U(n+1)-5/2]/[un-5/2]
On remplace U(n+1) par sa valeur (3Un -5)
V(n+1)/Vn = [3Un -5-5/2]/[un-5/2]
V(n+1)/Vn = [3Un -15/2]/[un-5/2]
V(n+1)/Vn = 3[Un-5/2]/[un-5/2]
V(n+1)/Vn = 3
La suite V(n) est une suite géométrique de raison q = 3
d) V0 = U0-5/2
V0 = 2-5/2
V0 = 4/2-5/2
V0 = -1/2
e) Le premier terme de la suite (Vn) est V0=-1/2 donc V0 < 0 et
la raison q = 3 > 1
donc Vn est décroissante
f) La somme des n premiers terme d'une suite géométrique est :
Sn = premier terme x (1-q^(nb de terme)/(1-q) (^ se lit puissance)
Sn = V0 x (1-q^n)/(1-q)
S10 = -1/2 x (1-3^10)/(1-3) = -1/2 x (1-59049) / -2
S10 = -14762
g) On sait qu'une suite géométrique est de la forme Vn = Vo x q^n
Donc
Vn = -1/2 x q^n
h) On sait que
Vn = Un -5/2 ⇔ Un = Vn +5/2
Or
Vn = -1/2 x q^n
Donc
Un = -1/2 x q^n +5/2
Un = (-(q^n) +5)/2
Exercice avec l'algorithme
a) J'ai testé le programme avec algobox. Je l'ai modifié un peu pour que tu comprennes bien. Le résultat est en pièce jointe.
b)
Le programme calcul, pour la suite définie par Uo = 2 et Un = 3Un-5 (Cf exercice 2) dans un premier temps :
U1, U2 et U3 (question a)
puis la somme des 4 premiers termes de cette suite.
