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Sagot :
Pour calculer la hauteur SI du cône, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle SIA :[SI^2 = SA^2 - IA^2][SI^2 = 7,5^2 - (AB/2)^2][SI^2 = 7,5^2 - (12/2)^2][SI^2 = 56,25 - 36][SI^2 = 20,25][SI = \sqrt{20,25}][SI = 4,5]Donc, la hauteur du cône SI est de 4,5 cm.Le volume maximal (V) du liquide que peut contenir ce verre est donné par le volume du cône :[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h]où (r) est le rayon de la base du cône et (h) est sa hauteur. Puisque le rayon (r) est la moitié du diamètre (AB), (r = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6) cm.Donc,[V = \frac{1}{3} \pi (6^2)(4,5) = \frac{1}{3} \pi (36)(4,5) = \frac{1}{3} \times 36 \times 4,5 \pi][V = 54 \pi]La valeur exacte de (V) est (54 \pi) cm³.En valeur arrondie à 1 mm³ près, (V \approx 169,65) cm³.3a) Pour exprimer le volume (V') d'eau en fonction du volume (V), nous devons utiliser le principe de similitude des cônes. Les deux cônes formés par le verre rempli d'eau et le verre vide sont semblables, donc leurs volumes sont proportionnels au cube de leur facteur d'échelle. Le facteur d'échelle est le rapport entre les hauteurs des deux cônes, c'est-à-dire (\frac{SA'}{SA}). Donc,[V' = \left(\frac{SA'}{SA}\right)^3 V][V' = \left(\frac{5}{7,5}\right)^3 V][V' = \left(\frac{2}{3}\right)^3 V][V' = \frac{8}{27} V]b) En substituant la valeur de (V) calculée précédemment, nous pouvons trouver (V') :[V' = \frac{8}{27} \times 169,65][V' \approx 50,60]Donc, en valeur arrondie au cm³ près, (V' \approx 51) cm³.
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