👤
Answered

Obtenez des réponses claires et concises à vos questions sur FRstudy.me. Rejoignez notre plateforme de questions-réponses pour recevoir des réponses rapides et précises de la part de professionnels expérimentés dans divers domaines.

Exercice 4
A
B
Un verre est composé d'un pied surmonté d'un cône de révolution.
L'épaisseur du verre est supposée négligeable.
Le cône a pour sommet S et sa base est un disque de diamètre (AB).
On donne AB 12 cm et SA-7,5 cm.
On note I le milieu du segment (AB).
La figure ci-contre est donnée à titre indicatif.
1) Calculer la hauteur SI du cône.
2) Calculer le volume maximal de liquide que peut contenir ce verre. Ce volume sera noté V.
Donner la valeur exacte de V en cm³ puis sa valeur arrondie à 1 mm³ près.
3) On remplit ce verre d'eau de telle sorte que la surface du liquide soit dans un plan parallèle à celui qui contient le disque
de base du cône et que le niveau de l'eau atteigne le point A' du segment [SA] tel que SA' -5 cm.
a) Exprimer le volume V' d'eau en fonction du volume V; justifier la réponse.
b) En déduire la valeur arrondie de V'au cm³ près.
Exorgina f

Sagot :

Pour calculer la hauteur SI du cône, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle SIA :[SI^2 = SA^2 - IA^2][SI^2 = 7,5^2 - (AB/2)^2][SI^2 = 7,5^2 - (12/2)^2][SI^2 = 56,25 - 36][SI^2 = 20,25][SI = \sqrt{20,25}][SI = 4,5]Donc, la hauteur du cône SI est de 4,5 cm.Le volume maximal (V) du liquide que peut contenir ce verre est donné par le volume du cône :[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h]où (r) est le rayon de la base du cône et (h) est sa hauteur. Puisque le rayon (r) est la moitié du diamètre (AB), (r = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6) cm.Donc,[V = \frac{1}{3} \pi (6^2)(4,5) = \frac{1}{3} \pi (36)(4,5) = \frac{1}{3} \times 36 \times 4,5 \pi][V = 54 \pi]La valeur exacte de (V) est (54 \pi) cm³.En valeur arrondie à 1 mm³ près, (V \approx 169,65) cm³.3a) Pour exprimer le volume (V') d'eau en fonction du volume (V), nous devons utiliser le principe de similitude des cônes. Les deux cônes formés par le verre rempli d'eau et le verre vide sont semblables, donc leurs volumes sont proportionnels au cube de leur facteur d'échelle. Le facteur d'échelle est le rapport entre les hauteurs des deux cônes, c'est-à-dire (\frac{SA'}{SA}). Donc,[V' = \left(\frac{SA'}{SA}\right)^3 V][V' = \left(\frac{5}{7,5}\right)^3 V][V' = \left(\frac{2}{3}\right)^3 V][V' = \frac{8}{27} V]b) En substituant la valeur de (V) calculée précédemment, nous pouvons trouver (V') :[V' = \frac{8}{27} \times 169,65][V' \approx 50,60]Donc, en valeur arrondie au cm³ près, (V' \approx 51) cm³.
Votre engagement est important pour nous. Continuez à partager vos connaissances et vos expériences. Créons un environnement d'apprentissage agréable et bénéfique pour tous. Pour des réponses rapides et fiables, consultez FRstudy.me. Nous sommes toujours là pour vous aider.