Réponse :
Voilà
Explications étape par étape :
1. Pour justifier que le coût de production total \(C(x)\) pour \(x\) kg de truffes est \(C(x) = x^3 - 60x^2 + 975x\), nous utilisons la fonction \(f(x)\) donnée :
\[f(x) = x^2 - 60x + 975\]
Le coût de production total \(C(x)\) est le coût unitaire de revient en euro multiplié par le nombre de kilogrammes de truffes traitées chaque semaine. Donc :
\[C(x) = x \times f(x) = x \times (x^2 - 60x + 975)\]
\[C(x) = x^3 - 60x^2 + 975x\]
2. Le bénéfice \(B(x)\) réalisé par le producteur pour \(x\) kg de truffes conditionnés et vendus est calculé en soustrayant le coût de production total \(C(x)\) du revenu total de la vente de truffes. Donc :
\[B(x) = 450x - C(x)\]
3. La fonction dérivée \(B'(x)\) de la fonction \(B\) est obtenue en dérivant \(B(x)\) par rapport à \(x\) :
\[B'(x) = \frac{d}{dx}(450x - C(x))\]
\[B'(x) = 450 - \frac{d}{dx}(x^3 - 60x^2 + 975x)\]
\[B'(x) = 450 - (3x^2 - 120x + 975)\]
\[B'(x) = -3x^2 + 120x - 525\]
4. Pour étudier le signe de \(B'(x)\), nous trouvons les racines de l'équation \(B'(x) = 0\) :
\[B'(x) = -3x^2 + 120x - 525 = 0\]
En résolvant cette équation, nous obtenons \(x = 5\) et \(x = 35\).
Ensuite, nous pouvons utiliser le test des intervalles pour déterminer le signe de \(B'(x)\).
5. Voici le tableau de valeurs de \(B(x)\) pour \(x = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45\), que je laisse à compléter :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & B(x) \\
\hline
0 & \\
5 & \\
10 & \\
15 & \\
20 & \\
25 & \\
30 & \\
35 & \\
40 & \\
45 & \\
\hline
\end{array}
\]
6. Nous allons représenter graphiquement la fonction \(B\) dans un repère orthogonal avec les unités indiquées.
7. En utilisant le graphique, nous déterminons pour quelles productions de truffes l'exploitation est bénéficiaire en identifiant les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(B(x) > 0\).
8. Pour trouver la quantité de truffes pour laquelle le bénéfice est maximal, nous examinons le tableau de variations de \(B(x)\) et identifions le maximum local. Ensuite, nous calculons le bénéfice maximal associé à cette quantité de truffes.
