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Réponse :
1) Pour x>0, comme la fonction qui à x associe est continue, elle est bien intégrable, donc f est bien définie.
Elle est même dérivable sur tout intervalle avec a>0 donc elle est dérivable sur I
et pour tout x > 0
qui est toujours strictement positif, donc f est strictement croissante sur I.
2)
pour tout x >= 1, comme la fonction exponentielle est croissante, nous avons
donc
AInsi
et comme ln(x) tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini, nous avons que
3)
a)
pour 0 < x <=1, comme la fonction exponentielle est croissante
Donc pour t dans [x;1]
donc
, ainsi
Comme
Nous avons que
4) il suffit d'écrire dans un tableau de variations les résultats déjà démontrés.
5)
f'est dérivable car quotien de fonctions qui le sont, et pour x >0
Ceci s'annule pour x = 1, donc C admet un point d'inflextion en A(1, 0)
et une équation de la tangente T à C au point A est
c) faut faire le dessin
6)
a) c'est une application du théroème de la bijection, f est une bijection de IR+ dans IR+ car strictement croissante.
b)
donc la suite (un) est croissante.
c)
On peut le montrer par l'absurde. Si on suppose qu elle est majorée, on arrive à une contradiction en passant au rang suivant en re utilisant ce que nous avons écit au b)
d)
la suite (un) tend vers plus l'infini.
Merci
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