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Titi, notre gentil dinosaure aux dents longues, est le fier détenteur d'une collection de vertèbres cervicales,
reliquats de ses anciens repas. Chose étonnante mais non démentie par les paléontologues, Titi vient
d'adopter un petit mammifère, un Repenomamus de l'ordre des Triconodonta, qu'il appelle affectueusement
Waf Waf. Malheureusement, ce dernier a pris pour habitude de boulotter certains éléments de la collection
de Titi. Le soir de l'adoption du Repenomamus, la collection comptait 640 vertèbres cervicales.
On admet que, chaque jour, le mammifère consomme 5 % des vertèbres de la collection, profitant du fait que
Titi chasse dans la plaine. Le soir, pendant que Waf Waf dort le ventre plein, Titi ajoute 12 nouvelles
vertèbres flambant neuves à sa collection.
On note (v) le nombre de vertèbres cervicales présentes dans la collection de Titi le soir du n-ième jour
suivant l'adoption du mammifère.
1. Le soir du jour suivant l'adoption, combien de vertèbres cervicales compte la collection de titi?
Combien y en a-t-il le soir du jour d'après ?
2. La suite (v.) est-elle arithmétique? Justifier.
La suite (v) est-elle géométrique ? Justifier.
3. Justifier que, pour tout entier naturel n, V+ =0,95v, +12.
4. Soit (w) la suite définie pour tout entier naturel n par w,, =V,,-240.
a. Montrer que la suite (w) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme wo
b. Exprimer w, en fonction de l'entier naturel n.
=
c. En déduire que, pour tout entier naturel n, v, 400×0,95" +240.
d. Quel est le sens de variation de la suite (v.) ? Justifier.
En donner une interprétation.
5. Un soir, Titi constate que sa collection compte moins de deux fois moins d'éléments que le soir du jour
de l'adoption de Waf Waf. Combien de jours se sont écoulés depuis cette fameuse adoption?

Titi Notre Gentil Dinosaure Aux Dents Longues Est Le Fier Détenteur Dune Collection De Vertèbres Cervicales Reliquats De Ses Anciens Repas Chose Étonnante Mais class=

Sagot :

Lya872
1. Pour le soir du jour suivant l'adoption, la collection de Titi comptera :
640 * 0,95 + 12 = 620 + 12 = 632 vertèbres cervicales.
Le soir du jour d'après :
632 * 0,95 + 12 = 600.4 + 12 = 612.4 ≈ 612 vertèbres cervicales.

2. La suite (v) n'est pas arithmétique car la différence entre les termes n'est pas constante
Pour vérifier si la suite est géométrique on calcule le rapport entre deux termes consécutifs :
v(n+1)/v(n) = (0,95v(n) + 12) / v(n) = 0,95 + 12 / v(n)
Donc, la suite (v) n'est pas géométrique car le rapport n'est pas constant.

3. Pour tout entier naturel n, on a :
v(n+1) = 0,95v(n) + 12
Cela signifie que le nombre de vertèbres cervicales le soir du jour suivant est égal à 95 % du nombre de vertèbres actuel plus 12 nouvelles vertèbres.

4. a. La suite (w) est géométrique car :
w(n) = v(n) - 240 = 0,95v(n-1) + 12 - 240 = 0,95(w(n-1) + 240) = 0,95w(n-1)
Sa raison est 0,95 et son premier terme est w(0) = v(0) - 240 = 640 - 240 = 400.

b. Pour exprimer w(n) en fonction de n :
w(n) = 400 * 0,95^n

c. En utilisant la relation w(n) = v(n) - 240, on a :
v(n) = 0,95v(n-1) + 12
v(n) = 0,95(0,95v(n-2) + 12) + 12
v(n) = 0,95²v(n-2) + 0,95*12 + 12
En continuant ce raisonnement, on obtient :
v(n) = 0,95^n * 400 + 240

d. La suite (v) décroît car le facteur multiplicatif 0,95 est inférieur à 1. Cela signifie que chaque jour le nombre de vertèbres cervicales diminue de 5 %.

5. Pour savoir combien de jours se sont écoulés depuis l'adoption de Waf Waf, on doit résoudre :
v(n) < 0,5 * 640
0,95^n * 400 + 240 < 320
0,95^n < 80 / 400
0,95^n < 0,2
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