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Devoir Maison 7
Exercice 1: Pavé dans un cube
ABCDEFGH est un cube de côté 6 cm. M et
N sont les points des arêtes [AD] et [AB]
tels que AM=AN=x (en cm).
P est le point de l'arête [EA] tel que EP=x (en cm).
On note V (x) le volume en cm3 du pavé droit en gris sur la figure, en fonction de la
longueur x.
1) Quel est l'ensemble de définition Dv de la fonction V ? Justifier.
2) Démontrer que V(x) = 6x²-x3.
3) Calculer le volume du pavé droit grisé pour x=2.

On trace ci-dessous la courbe de la fonction V :
(Graphique sur la photo)
4) Pour quelle valeur de x, le volume du pavé gris est-il maximal ? Quel est alors ce
volume maximal?

Exercice 2: Maison d'édition
Une maison d'édition veut publier un manuel de mathématiques. Les frais de création
s'élèvent à 30 000 € et l'impression de chaque livre coûte ensuite 3,5 €.
1) Déterminer le coût de production C(n) de n livres.
2) Chaque livre est vendu 6,5 €. Calculer la recette R(n) pour n livres vendus.
3) Représenter graphiquement dans un même repère les fonctions C et R associées
sur l'intervalle [0; 16 000].
4) Combien de livres la maison d'édition doit-elle vendre pour réaliser un bénéfice?
5) Après une étude de marché plus approfondie, la maison d'édition souhaite
commencer à réaliser des bénéfices à partir de 4 000 livres vendus. A quel prix doit-
elle alors vendre chaque livre?

Devoir Maison 7 Exercice 1 Pavé Dans Un Cube ABCDEFGH Est Un Cube De Côté 6 Cm M Et N Sont Les Points Des Arêtes AD Et AB Tels Que AMANx En Cm P Est Le Point De class=

Sagot :

Pour le premier exercice :

1) L'ensemble de définition \( D_v \) de la fonction \( V \) est l'intervalle [0, 6] car la longueur \( x \) ne peut pas dépasser la longueur d'un côté du cube, qui est de 6 cm.

2) Pour démontrer que \( V(x) = 6x^2 - x^3 \), on utilise la formule du volume d'un pavé droit, \( V = l \times L \times h \), où \( l \), \( L \), et \( h \) sont les longueurs, largeurs et hauteurs respectivement. Dans ce cas, \( l = x \), \( L = 6 \), et \( h = x \). Donc \( V(x) = x \times 6 \times x = 6x^2 \). Ensuite, on soustrait le volume du cube de dimension \( x \), ce qui donne \( -x^3 \), d'où \( V(x) = 6x^2 - x^3 \).

3) Pour \( x = 2 \), \( V(2) = 6(2)^2 - (2)^3 = 24 \) cm³.

4) Pour trouver la valeur de \( x \) qui maximise le volume, on dérive la fonction \( V(x) \) par rapport à \( x \) et on résout \( V'(x) = 0 \). Ensuite, on vérifie la concavité pour s'assurer que c'est un maximum.

Pour le deuxième exercice :

1) Le coût de production \( C(n) \) de \( n \) livres est \( C(n) = 30000 + 3.5n \).

2) La recette \( R(n) \) pour \( n \) livres vendus est \( R(n) = 6.5n \).

3) On peut représenter graphiquement les fonctions \( C \) et \( R \) sur l'intervalle [0, 16000] dans un même repère.

4) Pour réaliser un bénéfice, il faut que \( R(n) > C(n) \), donc il faut trouver le point d'intersection des courbes \( C \) et \( R \).

5) Pour réaliser des bénéfices à partir de 4000 livres vendus, la maison d'édition doit vendre chaque livre à un prix supérieur au coût de production, c'est-à-dire \( 30000 + 3.5 \times 4000 \).
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