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Sagot :
1.
a. Le volume de la boîte est donné par la formule \(V = \pi R^2 h\), où \(R\) est le rayon et \(h\) est la hauteur.
b. Sachant que le volume est 1 dm³, nous avons \(1 = \pi R^2 h\). En isolant \(h\), nous obtenons \(h = \frac{1}{\pi R^2}\).
2.
a. La surface de métal nécessaire pour la boîte est composée de la surface latérale du cylindre et des deux disques formant le couvercle et le fond. Donc, la surface totale \(S\) est donnée par \(S = 2\pi R^2 + 2\pi R h\).
b. En utilisant l'expression de \(h\) obtenue précédemment, nous pouvons réécrire \(S\) en fonction de \(R\) uniquement :
\[S = 2\pi R^2 + 2\pi R \left(\frac{1}{\pi R^2}\right) = 2\pi R^2 + \frac{2}{R}\]
3.
a. En représentant la fonction \(f(x) = 2x^2 + \frac{2}{x}\) sur l'intervalle \(I = [10, +\infty)\) sur la calculatrice, nous pouvons conjecturer le tableau de variations de \(f(x)\).
b. En cherchant le minimum de \(f(x)\) sur \(I\), nous pouvons déterminer graphiquement une valeur approchée du minimum ainsi que la valeur de \(x\) pour laquelle ce minimum est atteint.
c. En utilisant la valeur de \(x\) correspondant au minimum, nous pouvons trouver la valeur de \(R\) pour laquelle la surface \(S\) est minimale, puis en utilisant cette valeur de \(R\), nous pouvons trouver la valeur correspondante de \(h\).
A. En mesurant une boîte de conserve de volume connu, comme 850 mL, on peut constater si la boîte est effectivement optimisée en termes d'utilisation de métal. Si la boîte mesurée nécessite plus de métal que le volume donné par la solution trouvée, cela indique que la boîte n'est pas optimisée.
a. Le volume de la boîte est donné par la formule \(V = \pi R^2 h\), où \(R\) est le rayon et \(h\) est la hauteur.
b. Sachant que le volume est 1 dm³, nous avons \(1 = \pi R^2 h\). En isolant \(h\), nous obtenons \(h = \frac{1}{\pi R^2}\).
2.
a. La surface de métal nécessaire pour la boîte est composée de la surface latérale du cylindre et des deux disques formant le couvercle et le fond. Donc, la surface totale \(S\) est donnée par \(S = 2\pi R^2 + 2\pi R h\).
b. En utilisant l'expression de \(h\) obtenue précédemment, nous pouvons réécrire \(S\) en fonction de \(R\) uniquement :
\[S = 2\pi R^2 + 2\pi R \left(\frac{1}{\pi R^2}\right) = 2\pi R^2 + \frac{2}{R}\]
3.
a. En représentant la fonction \(f(x) = 2x^2 + \frac{2}{x}\) sur l'intervalle \(I = [10, +\infty)\) sur la calculatrice, nous pouvons conjecturer le tableau de variations de \(f(x)\).
b. En cherchant le minimum de \(f(x)\) sur \(I\), nous pouvons déterminer graphiquement une valeur approchée du minimum ainsi que la valeur de \(x\) pour laquelle ce minimum est atteint.
c. En utilisant la valeur de \(x\) correspondant au minimum, nous pouvons trouver la valeur de \(R\) pour laquelle la surface \(S\) est minimale, puis en utilisant cette valeur de \(R\), nous pouvons trouver la valeur correspondante de \(h\).
A. En mesurant une boîte de conserve de volume connu, comme 850 mL, on peut constater si la boîte est effectivement optimisée en termes d'utilisation de métal. Si la boîte mesurée nécessite plus de métal que le volume donné par la solution trouvée, cela indique que la boîte n'est pas optimisée.
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