Bien sûr, je serai ravi de vous aider avec cet exercice.
a. Pour trouver la dérivée de la fonction \( g(x) = \frac{e^{12x+5}}{x^3} \), nous utiliserons la règle du quotient et la dérivée de la fonction exponentielle. En appliquant ces règles, nous obtenons :
\[ g'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{e^{12x+5}}{x^3}\right) \]
\[ = \frac{(x^3 \cdot (12e^{12x+5}) - e^{12x+5} \cdot (3x^2))}{(x^3)^2} \]
\[ = \frac{12x^3e^{12x+5} - 3xe^{12x+5}}{x^6} \]
\[ = \frac{e^{12x+5}(12x^3 - 3x)}{x^6} \]
\[ = \frac{(12x - 3)e^{12x+5}}{x^4} \]
Donc, une expression de la dérivée de \( g \) est \( g'(x) = \frac{(12x - 3)e^{12x+5}}{x^4} \).
b. Pour trouver le tableau de signes de \( g'(x) \) sur \( \mathbb{R} \), nous devons identifier les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( g'(x) \) est positive, négative ou nulle. Cela dépendra du signe de \( 12x - 3 \) et du signe de \( e^{12x+5} \). Le signe de \( e^{12x+5} \) est toujours positif, donc le signe de \( g'(x) \) dépendra uniquement du signe de \( 12x - 3 \). Pour \( 12x - 3 \), le signe sera positif si \( x > \frac{1}{4} \), négatif si \( x < \frac{1}{4} \), et nul si \( x = \frac{1}{4} \).
c. Le tableau de variations de \( g \) sur \( \mathbb{R} \) sera déterminé en utilisant les informations du tableau de signes de \( g'(x) \). Lorsque \( g'(x) > 0 \), la fonction \( g \) est croissante, lorsque \( g'(x) < 0 \), la fonction \( g \) est décroissante, et lorsque \( g'(x) = 0 \), la fonction \( g \) a un extremum local.
d. Pour trouver l'équation de la tangente à la courbe représentative de \( g \) au point d'abscisse \( x = -1 \), nous avons besoin de la valeur de la fonction \( g(-1) \) ainsi que de sa dérivée \( g'(-1) \). Ensuite, nous utiliserons la forme point-pente de l'équation d'une droite pour trouver l'équation de la tangente.
