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Bonjour voici un devoirs de mathématiques sur les suites géométrique

On estime qu’un club de cyclisme voit son nombre d’adhérents augmenter de 12 % chaque année. En 2023, ce club compte 50 membres.Pour tout n ∈ ℕ, on note an le nombre estimé d’adhérents au club de cyclisme pour l’année 2023 + n.
1. Donner a0.
2. Calculer a1 et interpréter le résultat dans le contexte de l’énoncé.
3. Justifier que, pour tout n ∈ ℕ, an+1= 1,12 × an, puis en déduire la nature de la suite (an).
4. Donner, pour tout n ∈ ℕ, une expression de an en fonction de n.
5. Calculer le nombre estimé d’adhérents en 2027.
6. À partir de quelle année ce club devrait-il compter plus de 100 adhérents ?

Sagot :

Iamjustagirl
Bonjour,

1. a0 représente le nombre d'adhérents au club en 2023. Donc, a0 = 50.

2. Pour calculer a1, on utilise la formule donnée : a1 = 1,12 × a0 = 1,12 × 50 = 56. Interprétation : En 2024, le club devrait avoir environ 56 membres.

3. Pour justifier que an+1 = 1,12 × an, on observe que chaque année, le nombre d'adhérents augmente de 12%. Donc, pour passer de l'année n à l'année n+1, on multiplie le nombre d'adhérents de l'année n par 1,12. La suite (an) est donc une suite géométrique de raison 1,12.

4. Pour tout n ∈ ℕ, on peut exprimer an en fonction de n : an = a0 × (1,12)^n.

5. Pour calculer le nombre estimé d'adhérents en 2027 (n = 4), on utilise l'expression trouvée à la question 4 : a4 = 50 × (1,12)^4 ≈ 78,96. Donc, le nombre estimé d'adhérents en 2027 est d'environ 79 membres.

6. Pour trouver l'année où le club devrait compter plus de 100 adhérents, on résout l'inéquation : a0 × (1,12)^n > 100. En résolvant cette inéquation, on trouve que n > log(100/50)/log(1,12) ≈ 5,74. Donc, à partir de l'année n = 6, soit en 2029, le club devrait compter plus de 100 adhérents.
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