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Pour étudier les variations d'une fonction, on la dérive et on étudie son signe.
f'(x) = -x² -4x +5
Pour étudier le signe d'un polynôme de degré 2, on calcule le discriminant : delta = (-4)² -4*(-1)*(5)= 36
et les racines sont donc : x1 = (4-√delta)/(-2)= 1 et
x2 = (4+√delta)/(-2) = -5.
a<0 donc le polynôme est seulement positif entre les racines et négatif ailleurs.
La fonction f est donc décroissante sur ]-inf;-5[, croissante sur [-5;1] et décroissante sur [5;+inf[.