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Sagot :
a) Pour déterminer les équations des droites, nous utilisons la formule de la pente \( m \) :
1. Pour la droite \( (AB) \) :
\[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - 3}{1 - 6} = \frac{-5}{-5} = 1 \]
Puis nous utilisons le point \( A \) pour l'équation :
\[ y - y_A = m_{AB}(x - x_A) \]
\[ y - 3 = 1(x - 6) \]
\[ y - 3 = x - 6 \]
\[ y = x - 3 \]
2. Pour la droite \( (AC) \) :
\[ m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{5 - 3}{2 - 6} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \]
Puis nous utilisons le point \( A \) pour l'équation :
\[ y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 6) \]
\[ y - 3 = -\frac{1}{2}x + 3 \]
\[ y = -\frac{1}{2}x + 6 \]
3. Pour la droite \( (BD) \) :
\[ m_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{4 - (-2)}{1 - 1} = \frac{6}{0} \]
Comme le dénominateur est nul, la droite est verticale et l'équation est simplement \( x = 1 \).
b) Pour déterminer si le point \( E(-20, -22) \) appartient à la droite \( (AB) \), nous substituons les coordonnées \( x \) et \( y \) de \( E \) dans l'équation de la droite \( (AB) \). Si l'égalité est vérifiée, alors le point \( E \) appartient à la droite \( (AB) \). Sinon, il n'y appartient pas.
\[ -22 = (-20) - 3 \]
\[ -22 = -23 \]
L'égalité n'est pas vérifiée, donc le point \( E(-20, -22) \) n'appartient pas à la droite \( (AB) \).
c) Pour calculer les distances \( AB \) et \( BD \), nous utilisons la formule de la distance entre deux points \( (x_1, y_1) \) et \( (x_2, y_2) \):
1. Pour \( AB \):
\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]
\[ AB = \sqrt{(1 - 6)^2 + ((-2) - 3)^2} \]
\[ AB = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} \]
\[ AB = \sqrt{25 + 25} \]
\[ AB = \sqrt{50} \]
\[ AB = 5\sqrt{2} \]
2. Pour \( BD \):
\[ BD = |y_D - y_B| \]
\[ BD = |4 - (-2)| \]
\[ BD = |6| \]
\[ BD = 6 \]
1. Pour la droite \( (AB) \) :
\[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - 3}{1 - 6} = \frac{-5}{-5} = 1 \]
Puis nous utilisons le point \( A \) pour l'équation :
\[ y - y_A = m_{AB}(x - x_A) \]
\[ y - 3 = 1(x - 6) \]
\[ y - 3 = x - 6 \]
\[ y = x - 3 \]
2. Pour la droite \( (AC) \) :
\[ m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{5 - 3}{2 - 6} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \]
Puis nous utilisons le point \( A \) pour l'équation :
\[ y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 6) \]
\[ y - 3 = -\frac{1}{2}x + 3 \]
\[ y = -\frac{1}{2}x + 6 \]
3. Pour la droite \( (BD) \) :
\[ m_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{4 - (-2)}{1 - 1} = \frac{6}{0} \]
Comme le dénominateur est nul, la droite est verticale et l'équation est simplement \( x = 1 \).
b) Pour déterminer si le point \( E(-20, -22) \) appartient à la droite \( (AB) \), nous substituons les coordonnées \( x \) et \( y \) de \( E \) dans l'équation de la droite \( (AB) \). Si l'égalité est vérifiée, alors le point \( E \) appartient à la droite \( (AB) \). Sinon, il n'y appartient pas.
\[ -22 = (-20) - 3 \]
\[ -22 = -23 \]
L'égalité n'est pas vérifiée, donc le point \( E(-20, -22) \) n'appartient pas à la droite \( (AB) \).
c) Pour calculer les distances \( AB \) et \( BD \), nous utilisons la formule de la distance entre deux points \( (x_1, y_1) \) et \( (x_2, y_2) \):
1. Pour \( AB \):
\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]
\[ AB = \sqrt{(1 - 6)^2 + ((-2) - 3)^2} \]
\[ AB = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} \]
\[ AB = \sqrt{25 + 25} \]
\[ AB = \sqrt{50} \]
\[ AB = 5\sqrt{2} \]
2. Pour \( BD \):
\[ BD = |y_D - y_B| \]
\[ BD = |4 - (-2)| \]
\[ BD = |6| \]
\[ BD = 6 \]
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