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Pour résoudre l'inéquation \((-x-10)(x-90)<0\), nous devons trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles l'expression \((-x-10)(x-90)\) est négative.
Pour ce faire, nous utilisons le test des signes ou la méthode des intervalles :
1. Trouvons les points où l'expression est égale à zéro.
\((-x-10)(x-90)=0\)
Les solutions sont :
\(x+10=0 \Rightarrow x=-10\)
\(x-90=0 \Rightarrow x=90\)
2. Traçons un tableau de signes en prenant en compte ces points :
| \(x\) | \(-x-10\) | \(x-90\) | \((-x-10)(x-90)\) |
|:---------:|:-----------:|:----------:|:-----------------:|
| -∞ | - | - | + |
| -10 | + | - | - |
| 90 | + | + | + |
| +∞ | + | + | + |
3. Les solutions de l'inéquation \((-x-10)(x-90)<0\) sont les intervalles où \((-x-10)(x-90)\) est négatif, c'est-à-dire entre -10 et 90 exclus.
Donc, l'ensemble solution de l'inéquation est \(x \in (-10, 90)\).