Pour résoudre ces problèmes à l'aide de systèmes d'équations linéaires, nous allons utiliser les méthodes de substitution ou d'élimination pour trouver les valeurs des inconnues.
**Problème 2 (Au bar de la poste)**
Soit \( x \) le prix d'un café et \( y \) le prix d'un thé.
Première équation basée sur la première commande :
\[ 2x + 3y = 10.10 \]
Deuxième équation basée sur la deuxième commande :
\[ 3x + y = 7.10 \]
Nous allons résoudre ce système pour \( x \) et \( y \).
1. Multiplions la deuxième équation par 3 pour éliminer \( y \) :
\[ 9x + 3y = 21.30 \]
2. Soustrayons la première équation de cette nouvelle équation :
\[ (9x + 3y) - (2x + 3y) = 21.30 - 10.10 \]
\[ 7x = 11.20 \]
3. Résolvons pour \( x \) :
\[ x = \frac{11.20}{7} \]
\[ x = 1.60 \]
Maintenant, substituons \( x = 1.60 \) dans la première équation pour trouver \( y \) :
\[ 2(1.60) + 3y = 10.10 \]
\[ 3.20 + 3y = 10.10 \]
\[ 3y = 6.90 \]
\[ y = \frac{6.90}{3} \]
\[ y = 2.30 \]
Donc, le prix d'un café est \( 1.60 € \) et le prix d'un thé est \( 2.30 € \).
**Problème 3 (Amira va faire les boutiques)**
Soit \( x \) le prix initial d'un tee-shirt et \( y \) le prix initial d'une jupe.
Première équation basée sur la première transaction :
\[ 2x + y = 119.70 \]
Après la réduction de prix :
\[ x' = \frac{x}{2} \quad \text{(prix réduit du tee-shirt)} \]
\[ y' = 0.7y \quad \text{(prix réduit de la jupe)} \]
Deuxième équation basée sur la deuxième transaction après réduction :
\[ 6x' + 2y' = 173.56 \]
En substituant \( x' \) et \( y' \) :
\[ 6\left(\frac{x}{2}\right) + 2(0.7y) = 173.56 \]
\[ 3x + 1.4y = 173.56 \]
Maintenant, nous résolvons ce système pour \( x \) et \( y \).
Cela peut être résolu par substitution ou élimination. Je vais utiliser l'élimination :
1. Multiplions la première équation par 1.4 :
\[ 2.8x + 1.4y = 167.58 \]
2. Soustrayons la deuxième équation de cette nouvelle équation :
\[ (3x + 1.4y) - (2.8x + 1.4y) = 173.56 - 167.58 \]
\[ 0.2x = 5.98 \]
3. Résolvons pour \( x \) :
\[ x = \frac{5.98}{0.2} \]
\[ x = 29.9 \]
Maintenant, substituons \( x = 29.9 \) dans la première équation pour trouver \( y \) :
\[ 2(29.9) + y = 119.70 \]
\[ 59.8 + y = 119.70 \]
\[ y = 119.70 - 59.8 \]
\[ y = 59.90 \]
Donc, le prix initial d'un tee-shirt est \( 29.9 € \) et le prix initial d'une jupe est \( 59.90 € \).
Pour le reste des questions concernant les vecteurs directeurs et les équations cartésiennes des droites, il faudrait plus d'informations sur les vecteurs donnés pour les droites \( d_1 \) et \( d_2 \) pour fournir les réponses correspondantes.
