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On modélise le nombre d'arbres d'une forêt à l'aide d'une suite. En 2024, la forêt compte 50 000 arbres; on note un le nombre d'arbres en milliers l'année 2024 + n. Afin d'entretenir cette forêt, un organisme régional décide d'abattre chaque année 5% des arbres existants et de replanter 3000 jeunes arbres.
1/Justifier que uo = 50 et que pour tout nombre entier n, un+1 = 0,95.un+ 3
2/On considère la suite v définie, pour n entier supérieur ou égal à 0, par Vn = 60 - Un
a/Démontrer que la suite v est géométrique de raison 0,95
b/Calculer Vo puis exprimer Vn en fonction de n, pour n entier supérieur ou égal à 0
c/Démontrer que, pour n entier supérieur ou égal à 0, un = 60 - 10*0.95"
d/Etudier le sens de variation de la suite Un
3/a/En quelle année, le nombre d'arbres de cette forêt aura-t-il dépassé de 10% le nombre d'arbres de la forêt en 2024 ?
b/Conjecturer la limite de la suite Un
c/Interpréter le résultat précédent​

Sagot :

Fran25

Réponse:

1/ Pour justifier que uo = 50, on sait que en 2024, la forêt compte 50 000 arbres, donc en milliers, cela donne 50. Donc uo = 50.

Pour montrer que pour tout nombre entier n, un+1 = 0,95.un + 3, on utilise les informations fournies : chaque année, 5% des arbres sont abattus, ce qui revient à garder 95% des arbres existants. A cela s'ajoute le fait que 3000 jeunes arbres sont replantés. Ainsi, le nombre d'arbres l'année suivante est égal à 0,95 fois le nombre d'arbres de l'année précédente plus 3 (les 3000 jeunes arbres). Donc un+1 = 0,95.un + 3.

2/

a/ Pour démontrer que la suite v est géométrique de raison 0,95, on utilise la formule Vn = 60 - Un. En remplaçant Un par 0,95.un + 3, on obtient Vn = 60 - (0,95.un + 3) = 60 - 0,95.un - 3 = 57 - 0,95.un. On peut donc écrire Vn = 57 - 0,95.un. Ainsi, Vn est bien de la forme d'une suite géométrique avec une raison de 0,95.

b/ Pour calculer Vo, on remplace n par 0 dans Vn = 57 - 0,95.un. Donc V0 = 57 - 0,95 * u0 = 57 - 0,95 * 50 = 57 - 47,5 = 9,5. Donc Vo = 9,5.

Pour exprimer Vn en fonction de n, on a Vn = 57 - 0,95.un.

c/ Pour démontrer que, pour n entier supérieur ou égal à 0, un = 60 - 10*0,95^n, on remplace un dans l'expression de Vn : Vn = 57 - 0,95.un. En substituant un par 60 - 10*0,95^n, on obtient V

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