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Une brioche qui était dans une étuve à 30 °C est placée dans un four chauffé à 180 °C pendant 35 minutes.
La température au cœur de la
brioche, exprimée en degrés Celsius, est donnée sur
l'intervalle [0;35] par une fonction du temps 1, exprimé en
minutes, de la forme f(t)=ae-0,0221 + 180.
1. Sachant que f(0) = 30, calculer la valeur de a.
2. a. Justifier que f'(t)=3,3e-0,0221 pour tout réel de l'inter-
valle [0;35].
b. En déduire les variations de f sur [0;35].
c. Interpréter le résultat de la question précédente dans le
contexte de l'exercice.
3. À l'aide d'une calculatrice, déterminer le temps nécessaire,
en minutes, pour que la température au cœur de la brioche
soit supérieure à 100 °C.
Capacité 6, p. 172

Une Brioche Qui Était Dans Une Étuve À 30 C Est Placée Dans Un Four Chauffé À 180 C Pendant 35 Minutes La Température Au Cœur De La Brioche Exprimée En Degrés C class=

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour,

1) Si f(0) =30 on a alors : f(t) =a.e^0+180 = 30 ⇔a = 30-180 = -150

a=-150.

2a) (e^u)'= u'.e^u

donc f'(t) = -150*-0,022.e^(-0,022t) = 3,3.e^(-0,022t)

2b) La fonction exponentielle étant strictement positive sur R et 3,3 > 0

f'(t) > 0. La fonction f(t) est strictement croissante sur [0;35]

f(0) = 30 et f(35) = -150.e^(-0,022*35) +180 = 110,5

2c) Plus le temps augmente, plus la température au cœur de la brioche augmente. ( Ce qui n'est pas une surprise)

3) A faire avec une calculatrice programmable.

Par calcul ( non demandé)

-150.e^(-0,022*t) +180≥ 100 ⇔ e^(-0,022*t) ≤ -80/-150 = 8/15

⇔ ln[e^(-0,022*t)] ≤ln(8/15).

(On peut utiliser la fonction ln car e^(-0,022*t) > 0)

⇔-0,022*t≤ ln(8/15)

⇔ t≥ -ln(8/15)/0,022

⇔ t ≥ 28,57

T≥28,57 min

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