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Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : f(x) = ex . Onnote Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. 1) a) Préciser la limite de la fonction f en +∞. x b) Justifier que l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe Cf. 2) Déterminer la fonction dérivée f′ sur ]0 ; +∞[ 3) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ;+∞[. 4) Soit m ∈ R. Préciser et justifier, en fonction des valeurs du réel m, le nombre de solutions de l’équation f(x) = m. 5) Onnote ∆ la droite d’équation y = −x. Soit A unéventuel point de Cf d’abscisse a en lequel la tangente à la courbe Cf est parallèle à la droite ∆. a) Montrer que a est solution de l’équation ex(x −1) + x2 = 0. Onnote g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : g(x) = ex(x−1)+x2. b) Calculer g′(x) pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[. En déduire les variations de g sur [0 ;+∞[ c) Calculer lim x→+∞ g(x) puis dresser le tableau de variations de g sur [0 ;+∞[. d) Montrer qu’il existe un unique point A en lequel la tangente à Cf est paral lèle à la droite ∆. e) Par balayage sur la calculatrice, donner une valeur approchée à 10−2 de a

Sagot :

Bonjour !

1) a) La limite de la fonction f en +∞ est égale à lim x→+∞ ex = lim x→+∞ (1 + 1/x)^(x) = e.

b) L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe Cf car la fonction f tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞, ce qui signifie que la courbe Cf se rapproche de l'axe des ordonnées à mesure que x augmente.

2) La fonction dérivée f′ sur ]0 ; +∞[ est définie par f′(x) = ex.

3) Voici le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle ]0 ;+∞[ :

| x | f(x) = ex |
| --- | --- |
| 0 | 0 |
| +∞ | +∞ |

La fonction f est croissante sur l'intervalle ]0 ;+∞[.

4) Soit m ∈ R. La fonction f a une seule solution pour l'équation f(x) = m si m > 0, car la fonction f est croissante et tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞. Si m < 0, la fonction f n'a pas de solution pour l'équation f(x) = m. Si m = 0, la fonction f a une seule solution pour l'équation f(x) = m, qui est x = 0.

5) a) Montrons que a est solution de l'équation ex(x −1) + x2 = 0. En écrivant l'équation sous forme de f(x) = 0, nous obtenons : ex(x −1) = -x2. En prenant le logarithme naturel de chaque membre, nous obtenons : x ln(e) + x ln(x) - ln(e) + ln(x) = ln(-x2). En simplifiant, nous obtenons : x ln(x) - ln(x) = ln(-x2). En isolant x, nous obtenons : x = -x2. En résolvant cette équation, nous obtenons a = 1.

b) La fonction g est définie par g(x) = ex(x−1)+x2. La fonction dérivée g′ est définie par g′(x) = ex(x−1) + 2x.

c) Les variations de g sur [0 ;+∞[ sont les suivantes :

| x | g(x) = ex(x−1)+x2 |
| --- | --- |
| 0 | 0 |
| +∞ | +∞ |

La fonction g est croissante sur l'intervalle [0 ;+∞[.

d) La tangente à la courbe Cf en a est parallèle à la droite ∆ si et seulement si g′(a) = 0. En utilisant la formule de g′, nous obtenons : ex(a−1) + 2a = 0. En résolvant cette équation, nous obtenons a = 1.

e) En utilisant une calculatrice, nous obtenons une valeur approchée à 10−2 de a : a ≈ 1.0000000000.
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