Réponse:
Pour résoudre l'exercice 1, commençons par trouver les solutions de l'équation différentielle (E).
a) Pour résoudre l'équation (E) : 2y' + y = 0, nous pouvons utiliser la méthode de séparation des variables.
En isolant y' d'un côté de l'équation, nous avons : y' = -y/2.
Maintenant, nous pouvons intégrer les deux côtés de l'équation :
∫(1/y) dy = ∫(-1/2) dx.
Cela donne ln|y| = (-1/2)x + C, où C est une constante d'intégration.
En exponentiant les deux côtés de l'équation, nous obtenons : |y| = e^((-1/2)x + C).
Puisque e^C est une constante positive, nous pouvons réécrire l'équation comme suit : y = ±Ce^(-x/2).
Donc, les solutions de l'équation différentielle (E) sur R sont y = Ce^(-x/2), où C est une constante réelle.
b) Pour trouver la solution f* de (E) dont la courbe représentative passe par le point A(ln(9), 1), nous pouvons substituer les coordonnées du point A dans l'équation générale de la solution.
Ainsi, nous avons 1 = Ce^(-ln(9)/2) = Ce^(-ln(√9)) = Ce^(-ln(3)) = Ce^ln(1/3) = C(1/3) = C/3.
Donc, C = 3.
La solution f* de (E) est donc f*(x) = 3e^(-x/2).
Pour trouver l'abscisse du point A où les courbes se croisent, nous devons calculer g(0).
En substituant x = 0 dans l'expression de g(x) = x^2 - 4x - 1, nous obtenons g(0) = 0^2 - 4(0) - 1 = -1.
Maintenant, nous pouvons utiliser cette information pour trouver la relation entre a et b.
Puisque le point A a une abscisse de 0, cela signifie que les courbes f et g ont la même valeur en x = 0. Donc, f(0) = g(0).
En utilisant l'expression de f(x) = a + b * e^x, nous avons f(0) = a + b * e^0 = a + b * 1 = a + b.
Et puisque f(0) = g(0) = -1, cela nous donne l'équation a + b = -1.
Maintenant, passons à la partie b) de l'exercice.
1) Pour trouver une expression de g'(x), nous devons dériver g(x) = x^2 - 4x - 1.
En utilisant les règles de dérivation, nous obtenons g'(x) = 2x - 4.
Ensuite, nous pouvons calculer g'(0) en substituant x = 0 dans l'expression de g'(x).
Donc, g'(0) = 2(0) - 4 = -4.
Maintenant, utilisons cette information pour trouver les valeurs de a et b.
Puisque les courbes f et g ont la même tangente au point A, cela signifie que les dérivées de f et g sont égales en x = 0. Donc, f'(0) = g'(0).
En utilisant l'expression de f(x) = a + b * e^x, nous avons f'(x) = b * e^x.
Donc, f'(0) = b * e^0 = b * 1 = b.
Et puisque f'(0) = g'(0) = -4, cela nous donne l'équation b = -4.
Maintenant, nous pouvons utiliser l'équation a + b = -1 pour trouverPour trouver la valeur de a, nous pouvons utiliser l'équation a + b = -1 et la valeur de b que nous avons trouvée précédemment, qui est b = -4.
En substituant b = -4 dans l'équation, nous avons a + (-4) = -1.
En simplifiant, nous obtenons a - 4 = -1.
Pour isoler a, nous ajoutons 4 des deux côtés de l'équation.
Donc, a - 4 + 4 = -1 + 4.
Cela donne a = 3.
Donc, la valeur de a est 3 et la valeur de b est -4.
J'espère que cela t'aide à résoudre l'exercice ! Si tu as d'autres questions, n'hésite pas à demander.