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Mimbusanais2
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Une entreprise fabrique un produit dont le coût de fabrication, Ct, en milliers d'euros, dépend de la quantité q, en tonnes, de produit fabriqué.

Le coût Ct est modélisé par la fonction. Ct(q) = q^3 -12q^2 +60q, avec q, en tonne, compris entre 0 et 10.

1. Déterminer Ct'(q) et vérifier que Ct'(q) = 3(q-4)²+12

2. En déduire les variations de Ct sur [0:10]

Le coût moyen d'une tonne de produit CM est donné par la fonction CM(q) = Ct(q)/q avec q>0

3. Calculer CM(4) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Donner l'expression de CM en fonction de q

5. Déterminer la quantité fabriquée pour laquelle le cout moyen sera minimal.

On rappelle que le cout marginal est le cout généré par la fabrication d'une unité supplémentaire. Il peut se calculer en dérivant la fonction modélisant le cout total. On a donc CT'(q)=Cm(q).

6. Déterminer l'expression algébrique de Cm(q)

7. Résoudre, sur l'intervalle ] 0; 10] l'équation Cm(q) = CM(q)

8. Le cout moyen est-il minimal lorsque le cout marginal l'est également ?​

Sagot :

Mht78

Réponse:

Bonjour !

1. Pour déterminer Ct'(q), nous devons dériver la fonction Ct(q) = q^3 -12q^2 +60q par rapport à q. Nous obtenons :

Ct'(q) = d(q^3 -12q^2 +60q)/dq = 3q^2 -24q + 60

En simplifiant, nous obtenons :

Ct'(q) = 3(q^2 - 8q + 20) = 3(q-4)² + 12

Vérification : oui, Ct'(q) = 3(q-4)² + 12 !

2. Pour déduire les variations de Ct sur [0:10], nous devons évaluer Ct'(q) pour q compris entre 0 et 10.

* Pour q = 0, Ct'(0) = 3(0-4)² + 12 = 12

* Pour q = 10, Ct'(10) = 3(10-4)² + 12 = 108

Donc, Ct est croissante sur [0:10].

3. Pour calculer CM(4), nous devons d'abord calculer Ct(4) :

Ct(4) = 4^3 -12*4^2 + 60*4 = 64 - 192 + 240 = 112

Ensuite, nous calculons CM(4) :

CM(4) = Ct(4)/4 = 112/4 = 28

Interprétation : le coût moyen d'une tonne de produit est de 28 euros.

4. L'expression de CM en fonction de q est :

CM(q) = Ct(q)/q = (q^3 -12q^2 +60q)/q = q^2 -12q + 60

5. Pour déterminer la quantité fabriquée pour laquelle le coût moyen sera minimal, nous devons dériver CM(q) par rapport à q et évaluer le résultat à 0 :

CM'(q) = d(q^2 -12q + 60)/dq = 2q - 12

CM'(q) = 0 => 2q - 12 = 0 => q = 6

Donc, le coût moyen est minimal lorsque q = 6 tonnes.

6. L'expression algébrique de Cm(q) est la même que Ct'(q) :

Cm(q) = Ct'(q) = 3(q-4)² + 12

7. Pour résoudre l'équation Cm(q) = CM(q), nous devons égaliser les deux expressions :

3(q-4)² + 12 = (q^2 -12q + 60)/q

En simplifiant, nous obtenons une équation de degré 2 en q. Nous pouvons résoudre cette équation pour obtenir les valeurs de q pour lesquelles Cm(q) = CM(q).

8. Le coût moyen n'est pas toujours minimal lorsque le coût marginal l'est également. En effet, le coût marginal est minimal lorsque q = 6, mais le coût moyen est minimal lorsque q = 4.

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