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Exercice 1
DM (A rendre le 5 mai)
Un sac contient des boules indiscernables au toucher une boule rouge, trois boules jaunes et n boules noires (avec n entier strictement positif).
Un club sportif organise un jeu consistant, pour chaque joueur, à prélever dans le sac une boule au
hasard. Si la boule tirée est rouge, le joueur reçoit 5€, si la boule tirée est jaune, il reçoit 2 € et si
la boule tirée est noire, le joueur reçoit 1 €.

1. Dans cette question, n = 6.
On note X la variable aléatoire égale au gain du joueur.

(a) Déterminer la loi de probabilité de X.

(b) Déterminer la valeur exacte de l'espérance mathématique de X, puis la valeur arrondie à
10-2 près de l'écart-type.

Dans les questions suivantes, n est un entier quelconque strictement positif.

2. On note X la variable aléatoire égale au gain du joueur.

(a) Déterminer, en fonction de n, la loi de probabilité de X.

(b) Calculer, en fonction de n, l'espérance mathématique E(X).

3. En réalité, pour participer au jeu, le joueur doit acheter un billet d'entrée coûtant 1,70 €

Soit G la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou fausse. Toutes les réponses seront
justifiées. Une réponse non
justifiée ne sera pas prise en compte.

(a) Affirmation 1: "le gain moyen qu'un joueur peut espérer en fonction de n est : E(G) =
0,70-4,2 / n+4"
(b) Affirmation 2: "Le nombre de boules noires contenues dans le sac pour que le club gagne
en moyenne 0,50 € par partie est n =31

Sagot :

Sarahlacoste0910

Bonjour, je te propose cette réponse.

1. a) La loi de probabilité de X est :

P(X = 5) = 1/6 (probabilité d'obtenir une boule rouge)

P(X = 2) = 3/6 (probabilité d'obtenir une boule jaune)

P(X = 1) = 2/6 (probabilité d'obtenir une boule noire)

b) L'espérance mathématique de X est :

E(X) = 5*(1/6) + 2*(3/6) + 1*(2/6) = 2,5

L'écart-type est environ 1,29.

1. a) La loi de probabilité de X en fonction de n est :

P(X = 5) = 1/n (probabilité d'obtenir une boule rouge)

P(X = 2) = 3/n (probabilité d'obtenir une boule jaune)

P(X = 1) = (n-4)/n (probabilité d'obtenir une boule noire)

b) L'espérance mathématique E(X) en fonction de n est :

E(X) = 5*(1/n) + 2*(3/n) + 1*((n-4)/n)

1. a) Faux. Le gain moyen est impacté par le coût du billet d'entrée. La formule donnée ne tient pas compte de cela.

b) Faux. Pour obtenir une moyenne de 0,50 € par partie, le club doit ajuster le nombre de boules noires en fonction du coût du billet d'entrée.

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