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Bien sûr, je vais résoudre cette inéquation pour vous.
Pour résoudre l'inéquation \( (3-5x)(2x-7) < 0 \), nous devons trouver les valeurs de \( x \) qui rendent l'expression \( (3-5x)(2x-7) \) négative.
Nous allons utiliser la méthode des intervalles pour résoudre cette inéquation.
1. **Trouver les points critiques :**
Nous devons d'abord trouver les valeurs de \( x \) pour lesquelles l'expression \( (3-5x)(2x-7) \) est égale à zéro. Cela se produit lorsque \( 3-5x = 0 \) ou \( 2x-7 = 0 \).
Pour \( 3-5x = 0 \), nous avons \( x = \frac{3}{5} \).
Pour \( 2x-7 = 0 \), nous avons \( x = \frac{7}{2} \).
2. **Construire les intervalles :**
Nous devons maintenant diviser la droite des nombres réels en intervalles à l'aide des points critiques que nous avons trouvés. Ces points critiques, \( \frac{3}{5} \) et \( \frac{7}{2} \), divisent la droite en trois intervalles : \( (-\infty, \frac{3}{5}) \), \( (\frac{3}{5}, \frac{7}{2}) \) et \( (\frac{7}{2}, +\infty) \).
3. **Tester les intervalles :**
Nous allons maintenant tester un point dans chaque intervalle pour déterminer le signe de l'expression \( (3-5x)(2x-7) \).
- Pour \( x = 0 \), nous avons \( (3-5 \times 0)(2 \times 0 - 7) = 3 \times (-7) = -21 \), ce qui est négatif.
- Pour \( x = 1 \), nous avons \( (3-5 \times 1)(2 \times 1 - 7) = (-2)(-5) = 10 \), ce qui est positif.
- Pour \( x = 5 \), nous avons \( (3-5 \times 5)(2 \times 5 - 7) = (-22)(3) = -66 \), ce qui est négatif.
4. **Trouver la solution :**
L'inéquation est vérifiée lorsque \( (3-5x)(2x-7) < 0 \). Donc, les solutions sont les valeurs de \( x \) pour lesquelles l'expression \( (3-5x)(2x-7) \) est négative. Cela se produit dans l'intervalle \( \frac{3}{5} < x < \frac{7}{2} \).
Donc, la solution de l'inéquation est \( \frac{3}{5} < x < \frac{7}{2} \).