👤
Jaimelespouletsducol
Answered

Obtenez des solutions complètes à vos questions avec FRstudy.me. Obtenez des réponses détaillées et précises de la part de notre communauté de professionnels bien informés.

Bonjour, pouvez vous résoudre cette exercice ? Merci d'avance .

Exercice: Étude de fonctions

PARTIE A

1. On considère la fonction g définie sur ] 0 ; +∞ [ par:

g(x) = 1 + x ^ 2 - 2x ^ 2 * ln(x)

a. Dresser le tableau de variation de g.

b. Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une solu- tion unique λ, puis que :

1, 89 < λ < 1, 90

c. Déduire de ce qui précède le signe de g(x)

2. On considère la fonction f définie sur ] 0 ; +∞ [ par:

f(x) = (ln(x))/(1 + x ^ 2)

a. Dresser le tableau de variation de f.

b. Vérifier que f(λ) = 1/(2λ ^ 2)

En déduire un encadrement de f(λ) d'amplitude 2 * 10 ^ - 3

c. Tracer la représentation graphique de f dans un plan rapporté à un repère orthogonal en prenant 2 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 20 cm pour unité sur l'axe des ordonnées.

PARTIE B

On considère la fonction F définie sur [ 1 ; +∞ [ par:

F(x) = intégrale f(t)dt de 1 à x

1. Montrer que F est dérivable sur [ 1 ; +∞ [ et préciser l'expression de F'(x) pour x appartenant à [ 1 ; +∞ [
En déduire le sens de variation de F.

2. a. Vérifier que, pour t > ou = 1 on a:

(ln(t))/((1 + t) ^ 2) < ou = f(t) < ou = (ln(t))/(t ^ 2)

b. Pour x > ou = 1 on pose:

I(x) = intégrale (ln(t))/(t ^ 2)dt de 1 à x

À l'aide d'une intégration par parties, calculer I(x).

c. Pour x > ou = 1 on pose

J(x) = intégrale (ln(t))/((1 + t) ^ 2)dt de 1 à x

À l'aide d'une intégration par parties et de l'égalité suivante, calculer J(x) :

1/(t(t + 1)) = (1/t) - (1/(t+1)) pour t > ou = 1

d. Déduire de ce qui précède que, pour x > ou = 1, on a:

ln(2) + ln(x/(x + 1)) - (ln(x))/(x + 1) < ou = F(x) < ou = 1 - ((ln(x))/x) - (1/x)

e. On admet que lim F(x) = l (quand x tend vers +∞), avec l réel.
Sans calculer l, vérifier que ln(2) < ou = l < ou = 1.

3. Soit G la fonction définie sur [ 1 ; +∞ [ par:

G(x) = F(1/x) - F(x)

a. Calculer G'(x) pour x > ou = 1.

b. Vérifier que, pour tout x > ou = 1, G(x) = 0

c. En déduire une relation qui vérifie la fonction F.​

Sagot :

Bonjour ! si cela vous a aidé, n’oubliez pas de mettre mes cinq étoiles ;)

Voici les réponses :

PARTIE A

1. g(x)

a. Tableau de variation de g :

| x | g(x) |
| --- | --- |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
| 2 | 3 |
| 3 | 6 |
| ... | ... |

b. Équation g(x) = 0 admet une solution unique λ, et 1,89 < λ < 1,90.

c. Signe de g(x) : g(x) > 0 pour x > 1,89 et g(x) < 0 pour x < 1,89.

2. f(x)

a. Tableau de variation de f :

| x | f(x) |
| --- | --- |
| 0 | -∞ |
| 1 | 0 |
| 2 | 0,25 |
| 3 | 0,12 |
| ... | ... |

b. f(λ) = 1/(2λ ^ 2) et f(λ) > 0.

c. Encadrement de f(λ) d'amplitude 2 * 10 ^ - 3 : 0,25 < f(λ) < 0,27.

PARTIE B

1. F(x)

a. F est dérivable sur [ 1 ; +∞ [ et F'(x) = f(x) pour x appartenant à [ 1 ; +∞ [.

b. Sens de variation de F : F est croissante.

2. I(x) et J(x)

a. I(x) = (ln(t))/(t ^ 2)dt de 1 à x = ln(x) - 1/x.

b. J(x) = (ln(t))/((1 + t) ^ 2)dt de 1 à x = -ln(1 + x) + 1/(1 + x).

c. F(x) = I(x) + J(x) = ln(x) - 1/x - ln(1 + x) + 1/(1 + x).

d. Encadrement de F(x) : ln(2) + ln(x/(x + 1)) - (ln(x))/(x + 1) < F(x) < 1 - ((ln(x))/x) - (1/x).

e. lim F(x) = l et ln(2) < l < 1.

3. G(x)

a. G'(x) = -F'(1/x) + F'(x) = -f(1/x) + f(x).

b. G(x) = 0 pour tout x > ou = 1.

c. Relation qui vérifie la fonction F : F(1/x) - F(x) = 0 pour tout x > ou = 1.
Nous apprécions chaque contribution que vous faites. Revenez souvent pour poser de nouvelles questions et découvrir de nouvelles réponses. Ensemble, nous construisons une communauté de savoir. Chez FRstudy.me, nous nous engageons à fournir les meilleures réponses. Merci et à bientôt pour d'autres solutions.