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E.4) On veut construire le long d'un bâtiment une aire de jeu rectangulaire. De plus, on souhaite que les dimensions de ce rectangle soient supérieures ou égales à 10m. Cet espace de jeu est entouré sur trois côtés d'une allée de 3m de large comme l'indique le croquis ci-dessous. L'ensemble est clôturé sur les trois côtés (AB), (BC) et [CD].
On s'intéresse à la longueur L de la clôture:
2 = AB + BC + CD.
On note x et y les dimensions en mètres de l'aire de jeu (la valeur de x et de y sont nécessairement positifs).
On dispose de 100 mètres de clôture qu'on souhaite entièrement utilisé:
a)
Exprimer, dans ces conditions, la valeur de y en fonction de x.
b Justifier que la valeur de z doit être inférieure à 44.
Déterminer les dimensions afin que les 100 mètres de clôtures soient utilisés et que l'aire de jeu soit maximale.

Sagot :

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a) Expression de y en fonction de x

Nous savons que la longueur de la clôture est égale à 100 mètres. Nous pouvons écrire l'équation :

2 = AB + BC + CD

AB = x + 3 (car l'allée de 3 mètres est ajoutée à la longueur de l'aire de jeu)
BC = y + 3 (car l'allée de 3 mètres est ajoutée à la longueur de l'aire de jeu)
CD = x + 3 (car l'allée de 3 mètres est ajoutée à la longueur de l'aire de jeu)

En remplaçant les valeurs dans l'équation, nous obtenons :

2 = (x + 3) + (y + 3) + (x + 3)
2 = x + y + 9

En simplifiant l'équation, nous obtenons :

x + y = 7

Nous savons que x et y sont des valeurs positives, donc nous pouvons écrire :

y = 7 - x

b) Justification que la valeur de y doit être inférieure à 44

Nous savons que les dimensions de l'aire de jeu doivent être supérieures ou égales à 10 mètres. Cela signifie que x et y doivent être supérieures ou égales à 10 mètres.

y = 7 - x

Pour que y soit supérieure ou égale à 10 mètres, nous devons avoir :

7 - x ≥ 10

En résolvant l'inégalité, nous obtenons :

x ≤ -3

Mais x est une valeur positive, donc cela est impossible. Donc, y doit être inférieure à 44.

Détermination des dimensions pour maximiser l'aire de jeu

Pour maximiser l'aire de jeu, nous devons maximiser la valeur de x et de y. Nous savons que x et y sont liés par l'équation :

x + y = 7

Pour maximiser x et y, nous devons maximiser l'aire de jeu. L'aire de jeu est égale à x × y. Nous pouvons écrire :

Aire de jeu = x × y = x × (7 - x)

En dérivant l'aire de jeu par rapport à x, nous obtenons :

dAire de jeu/dx = 7 - 2x

Pour maximiser l'aire de jeu, nous devons avoir :

7 - 2x = 0

En résolvant l'équation, nous obtenons :

x = 7/2 = 3.5

x = 3.5 et y = 7 - x = 7 - 3.5 = 3.5

Donc, les dimensions de l'aire de jeu sont x = 3.5 mètres et y = 3.5 mètres.
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