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Réponse:
Pour répondre à votre question :
a) Forme algébrique et trigonométrique de z1, z2 et Z :
1. z1 = √(3 + i)
Forme algébrique : z1 = a + bi
où a = √3 et b = 1
Forme trigonométrique : z1 = r(cosθ + i sinθ)
où r = √(a^2 + b^2) = √(3^2 + 1^2) = √10
et cosθ = a/r = √3/√10 = √3/10
et sinθ = b/r = 1/√10 = 1/√10
2. z2 = 1 - i
Forme algébrique : z2 = c + di
où c = 1 et d = -1
Forme trigonométrique : z2 = s(cosφ + i sinφ)
où s = √(c^2 + d^2) = √(1^2 + (-1)^2) = √2
et cosφ = c/s = 1/√2 = √2/2
et sinφ = d/s = -1/√2 = -√2/2
3. Z = z1 / z2
Z = (a + bi) / (c + di)
= (a + bi) * conjugate(c + di) / s^2
= (a + bi)(c - di) / s^2
= (ac + bd) + (bc - ad)i / s^2
= (√3 * 1 + 1 * (-1) + (√3 * (-1) - 1 * 1)i / 2
= (√3 - 1 - √3 - 1)i / 2
= -2i / 2
= -i
Donc, la forme algébrique de Z est -1 et la forme trigonométrique est -1(cos(π) + i sin(π)).
b) Pour trouver les valeurs exactes de cos(5π/12) et sin(5π/12), nous utiliserons l'identité trigonométrique sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ.
Nous savons que cos(θ) et sin(θ) correspondent à la partie réelle et imaginaire du complexe respectivement. Donc, pour Z, cos(5π/12) correspond à la partie réelle de Z et sin(5π/12) correspond à la partie imaginaire de Z.
Nous avons déjà trouvé que Z = -1, donc :
cos(5π/12) = -1
sin(5π/12) = 0
J'espère que ces explications vous ont aidé à comprendre les étapes !