Réponse :
Svp j’ai besoin d’aide
1) compléter l'arbre
/ An+1
0.8 /
/
/ An /..................0.2............Bn+1
an /
/
/
\ / An+1
\ 0.3 /
1 - an \ /
\ Bn/.............0.7..........Bn+1
2) montrer que pour tout entier naturel
n ≥ 1 an+1 = 0.5an + 0.3
d'après les probabilités totales
P(An+1) = P(An) x PAn(An+1) + P(Bn) x PBn(An+1)
= an x 0.8 + (1 - an) x 0.3
= 0.8an + 0.3 - 0.3an
= 0.5an + 0.3
donc on a bien an+1 = 0.5an + 0.3
Partie B
1) a1 = a = 0.5
a) démontrer par récurrence pour tout entier n ≥ 1 0 ≤ an ≤ 0.6
on note P(n) : 0 ≤ an ≤ 0.6
* initialisation : pour n = 1 on a 0 ≤ a1 = 0.5 ≤ 0.6 donc P(1) est vraie
* hérédité : soit un entier n ≥ 1 et supposons P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie
H.R on a ; 0 ≤ an ≤ 0.6 ⇔ 0 ≤ 0.5an ≤ 0.3
⇔ 0 ≤ 0.3 ≤ 0.5an + 0.3 ≤ 0.6 donc 0 ≤ an+1 ≤ 0.6 P(n+1) est vraie
* conclusion : P(1) est vraie au rang 1 et P(n) est héréditaire au rang n
donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n ≥ 1
b) montrer que (an) est croissante
an+1 - an = 0.5an + 0.3 - an
= - 0.5an + 0.3
= 0.5(- an + 0.6)
= 0.5(0.6 - an) or an ≤ 0.6 ⇔ 0 ≤ 0.6 - an
donc an+1 - an ≥ 0 alors la suite (an) est croissante
c) montrer que la suite (an) converge vers un réel l
sachant que la suite (an) est croissante et elle est majorée par 0.6
donc la suite (an) convergente et elle converge vers l ≤ 0.6
d) expliquer pourquoi l est solution de l'équation x = 0.5x + 0.3
an+1 = f(an) donc f(x) = 0.5x + 0.3 définie sur [0 ; 1]
et lim f(l) = l donc lim an+1 = lim f(an) = l et l = x
n→+∞
d'où x = 0.5x + 0.3
0.5x = 0.3
x = 0.3/0.5 = 0.6 donc l = 0.6
Explications étape par étape :
