Bonjour Monpetitcoeur72
1) a) En 2010, la forêt possède 50 milliers d’arbres.
Donc nous avons bien [tex]u_0 = 50[/tex]
Lorsque 5 % des arbres sont abattus au cours d’une année, il reste [tex](1-\dfrac{5}{100})\times u_n[/tex], soit [tex]0,95\times u_n[/tex].
Mais on replante 3 milliers d’arbres chaque année.
Par conséquent, [tex]u_{n+1}=0,95\times u_n+3[/tex]
b) La suite [tex](u_n)[/tex] n'est ni arithmétique, ni géométrique.
[tex]2\ a)\ v_{n+1} = 60-u_ {n+1}\\
v_{n+1} = 60-(0,95 u_n + 3)\\v_{n+1} = 60-0,95 u_n-3\\v_{n+1} = 57-0,95 u_n\\
v_{n+1} = 0,95\times60-0,95 u_n\\v_{n+1} = 0,95 (60-u_n)\\
v_{n+1} = 0,95 vn[/tex]
Donc la suite (Vn) est géométrique et sa raison est 0,95.
[tex]b)\ v_0 = 60-u_0\\v_0 = 60-50\\v_0 = 10
[/tex]
D'où, [tex]v_n = 10\times0,95^n[/tex]
[tex]c)\ u_n = 60-v_n\\u_n = 60-10\times (0,95)^n.[/tex]
3) Le nombre d’arbres en 2015 est donné par la valeur de [tex]u_5[/tex]
[tex]u_5 = 60-10\times (0,95)^5\approx52,262[/tex]
Le nombre d’arbres en 2015 est donc de 52 262 arbres.
[tex]4\ a)\ u_{n+1}-u_n = (60-10\times (0,95)^{n+1}) - (60 - 10\times (0,95)^n)\\u_{n+1}-u_n = 60-10\times (0,95)^{n+1} - 60 + 10\times (0,95)^n\\u_{n+1}-u_n=-10\times (0,95)^{n+1}+ 10\times (0,95)^n\\u_{n+1}-u_n=-10\times (0,95)^{n}\times0,95+ 10\times (0,95)^n\\u_{n+1}-u_n=10\times (0,95)^{n}\times(0,95+1)\\u_{n+1}-u_n=10\times (0,95)^{n}\times0,05\\u_{n+1}-u_n=0,5\times (0,95)^{n}[/tex]
[tex]b)\ 0,5 \times 0,95^n \ \textgreater \ 0\Longrightarrow u_{n+1}-u_n\ \textgreater \ 0\\\\\Longrightarrow u_{n+1}\ \textgreater \ u_n[/tex]
La suite [tex](u_n)[/tex] est une suite strictement croissante.
5) Il faut chercher à partir de quelle année le nombre d’arbres aura dépassé 50 000 augmenté de 10 %, c’est-à-dire quand nous aurons :
[tex](u_n)\ \textgreater \ 55\\\\60-10\times(0,95)^n \ \textgreater \ 55\\\\10\times(0,95)^n\ \textless \ 5\\\\(0,95)^n\ \textless \ 0,5[/tex]
Un tableur montre que n > 13,6.
Puisque ne est entier, nous prendrons n = 14.
Par conséquent, en 2024, le nombre d’arbres de la forêt aura dépassé de 10 % celui de 2010.
6) En utilisant un tableur et en donnant à n des valeurs de plus en plus grandes, nous constatons que [tex]60-10\times(0,95)^n [/tex] se rapproche de 60.
D'où, à long terme, le nombre d'arbres de la forêt se stabilisera à 60 000 arbres
