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Exercice de mon DM de niveau 2nde :
Depuis le bord d'un quai, un pêcheur lance sa ligne.
On observe dans le repère (O,I,J) le parcours de l'hameçon avant de toucher l'eau.
La hauteur f(x) de ce dernier (en mètre par rapport au niveau de la mer) en fonction de l'abscisse ( en mètre) est donnée par : f(x) = -1/10 * x²+13/10x+24/5
Sur le schème ci-contre, le parcours de l'hameçon est représenté en pointillés.
1/ A quelle hauteur l'hameçon a t-il commencé sa course ?
2/ Calculer f(1) et f(12)
En déduire à quelle distance du quai l'hameçon atteint son point le plus haut, et donner son altitude.
3/ Vérifier que pour tout réel x on a : f(x) = -1/10(x-6.5)²+9.025
4/Montrez que f(x) = -0.1(x+3)(x-16)
En déduire à quelle distance du quai l'hameçon percute la surface de la mer.

Exercice De Mon DM De Niveau 2nde Depuis Le Bord Dun Quai Un Pêcheur Lance Sa Ligne On Observe Dans Le Repère OIJ Le Parcours De Lhameçon Avant De Toucher Leau class=

Sagot :

Bonsoir Melizoou

1/ A quelle hauteur l'hameçon a t-il commencé sa course ?
Il suffit de calculer f(0).
[tex]f(0) = -\dfrac{1}{10}\times 0^2+\dfrac{13}{10}\times 0+\dfrac{24}{5}\\\\f(0) = \dfrac{24}{5}=4,8[/tex]
L'hameçon a commencé sa course à 4,8 mètres de hauteur.

2/ Calculer f(1) et f(12)
[tex]f(1) = -\dfrac{1}{10}\times 1^2+\dfrac{13}{10}\times 1+\dfrac{24}{5}\\\\f(1) = -\dfrac{1}{10}+\dfrac{13}{10}+\dfrac{24}{5}\\\\f(1) = -\dfrac{1}{10}+\dfrac{13}{10}+\dfrac{48}{10}\\\\f(1) =\dfrac{60}{10}\\\\\boxed{f(1)=6}[/tex]

[tex]f(12) = -\dfrac{1}{10}\times 12^2+\dfrac{13}{10}\times 12+\dfrac{24}{5}\\\\f(12) = -\dfrac{144}{10}+\dfrac{156}{10}+\dfrac{24}{5}\\\\f(12) = -\dfrac{144}{10}+\dfrac{156}{10}+\dfrac{48}{10}\\\\f(12) =\dfrac{60}{10}\\\\\boxed{f(12)=6}[/tex]

En déduire à quelle distance du quai l'hameçon atteint son point le plus haut, et donner son altitude.

Puisque f(1)=f(12), le sommet de la courbe représentant la fonction f a pour abscisse la moyenne arithmétique de 1 et 12, 
soit [tex]\dfrac{1+12}{2}=\dfrac{13}{2}=6,5[/tex]

De plus, 
[tex]f(6,5) = -\dfrac{1}{10}\times 6,5^2+\dfrac{13}{10}\times 6,5+\dfrac{24}{5}\\\\f(6,5) = -\dfrac{42,25}{10}+\dfrac{84,5}{10}+\dfrac{24}{5}\\\\f(6,5) = -\dfrac{42,25}{10}+\dfrac{84,5}{10}+\dfrac{48}{10}\\\\f(6,5) =\dfrac{90,25}{10}\\\\\boxed{f(6,5)=9,025}[/tex]

Par conséquent,  l'hameçon atteint son point le plus haut à 6,5 mètres du quai et son altitude est de 9,025 mètres.

3/ Vérifier que pour tout réel x on a : f(x) = -1/10(x-6.5)²+9.025

[tex]-\dfrac{1}{10}(x-6.5)^2+9.025=-\dfrac{1}{10}(x^2-2\times x\times6,5+6,5^2)+9.025\\\\-\dfrac{1}{10}(x-6.5)^2+9.025=-\dfrac{1}{10}(x^2-13x+42,25)+9.025\\\\-\dfrac{1}{10}(x-6.5)^2+9.025=-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{13}{10}x-\dfrac{42,25}{10}+9.025\\\\-\dfrac{1}{10}(x-6.5)^2+9.025=-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{13}{10}x-\dfrac{42,25}{10}+\dfrac{90,25}{10}\\\\-\dfrac{1}{10}(x-6.5)^2+9.025=-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{13}{10}x+\dfrac{48}{10}[/tex]

[tex]\boxed{-\dfrac{1}{10}(x-6.5)^2+9.025=-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{13}{10}x+\dfrac{24}{5}=f(x)}[/tex]

4/Montrez que f(x) = -0.1(x+3)(x-16)

[tex] -0,1(x+3)(x-16)=-0,1(x^2-16x+3x-48)\\\\ -0,1(x+3)(x-16)=-\dfrac{1}{10}(x^2-13x-48)\\\\ -0,1(x+3)(x-16)=-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{13}{10}x+\dfrac{48}{10}\\\\ \boxed{-0,1(x+3)(x-16)=-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{13}{10}x+\dfrac{24}{5}=f(x)}[/tex]

En déduire à quelle distance du quai l'hameçon percute la surface de la mer.
Résoudre f(x) = 0
-0,1(x + 3)(x - 16) = 0
(x + 3)(x - 16) = 0
x + 3 = 0   ou   x - 16 = 0
x = - 3   ou   x = 16
La valeur -3 est à rejeter car x est une longueur.
D'où x = 16.

L'hameçon percute la surface de la mer à 16 mètres du quai.

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