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LES SUITES
La population d’une ville augmente régulièrement de 10% par an. En 2000, elle était de 8000 habitants.
On désigne par un le nombre d’habitants estimé pour l’année 2000+n. On a donc U0 = 8000.
1) Calculer U1 et U2.
2)Exprimer U(n +1) en fonction de Un .
3) Exprimer Un en fonction de n.
4) Quel est le nombre d’habitants prévu en 2006?
5) À l’aide de votre calculatrice, déterminer en quelle année la population aura doublée ?

Sagot :

1) U₁=U₀+10U₀/100=8000+800=8800
U₂=U₁+10U₁/100=8800+880=9680
2) U(n+1)=Un+10Un/100=Un(1+10/100)=11Un/10
3) suite geometrique Un= q^{n}U₀⇒Un=(11/10)^{n}8000
4)en 2006, n=6⇒U₆=(11/10)^{6}8000=14172488
5) la population double⇒14172488*2=28344976
on a donc 28344976= (11/10)^{n}8000 ⇔3543122=(11/10)^{n}
⇒ln3543122=ln(11/10)^{n}
⇒8,172763538=nln(11/10)
⇒n=85,74911468⇒n≈86
donc c'est en 2086 que la population aura doublée. preuve: (11/10)⁸⁶8000=29030927≈28344976
meme 2085 serait acceptable
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