Bonjour,
Partie A
1)
Tu dois utiliser la formule de dérivation d'un produit. Tu sais que la dérivée de 100/x c'est -100/x² et que la dérivée de 3-ln(x) est -1/x. Donc :
[tex]f'(x)= -\frac{100}{x^2}\left(3-\ln\left(x\right)\right)+\frac{100}{x} \times \left(-\frac 1x\right)\\
f'(x)= -\frac{100}{x^2}\left(3-\ln\left(x\right)\right)-\frac{100}{x^2}\\
f'(x)= -\frac{100}{x^2}\left(4-\ln\left(x\right)\right)\\
f'\left(x\right) = \frac{100}{x^2}\left(\ln\left(x\right)-4\right)[/tex]
2)Tu as juste à étudier le signe de ln(x)-4.
Tu observes que la fonction ln est strictement croissante sur R+ et que e^4 > 50. Donc ln(x)-4 est strictement négatif sur I et f'(x) est strictement négatif sur I.
f est strictement décroissante sur I.
3)
[tex]f\left(e^3\right) = \frac{100}{e^3} \left(3-\ln\left(e^3\right)\right)\\
f\left(e^3\right) = \frac{100}{e^3} \left(3-3\right)\\
f\left(e^3\right) = 0[/tex]
Donc f(x) > 0 pour x < e^3 et f(x) < 0 pour x > e^3.
Partie 2
1)Tu utilises la formule de la composition pour calculer cette dérivée.
[tex]B'\left(q\right) = -50\left[\frac 1q \times 2\left(\ln (q)-3\right)\right]\\
B'\left(q\right) = -50\left[\frac 1q \times 2\left(\ln (q)-3\right)\right]\\
B'\left(q\right) = -\frac{100}{q} \left(\ln (q)-3\right)\\
B'\left(q\right) = \frac{100}{q} \left(3-\ln (q)\right)\\
B'\left(q\right) =f\left(q\right)\\[/tex]
2)Tu as établi le tableau de signes de B'(q)=f(q) précédemment, tu peux donc établir le tableau de variations de B(q).
3)Tu peux grapher la fonction B sur ta calculatrice pour trouver des valeurs approchées des nombres pour lesquels B(q) > 0. Je trouve environ l'intervalle [18 ; 22,4].
4)Cette valeur est atteinte quand B'(q) s'annule, soit quand q = e^3.
Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
