Exercice 143
pour désigner le vecteur AB je vais écrire vec(AB)
et pour désigner la norme du vecteur AB, je vais écrire AB
1) en utilisant la formule du produit scalaire, on sait que :
vec(AB).vec(AF) = AB x AF x cos(BAF)
et
vec(AC).vec(AE) = AC x AE x cos(EAC)
Angle BAF = angle EAC
le triangle BAE est isocèle en A donc AB = AE
le triangle CAF est isocèle en A donc AC = AF
donc
vec(AB).vec(AF) = AB x AF x cos(BAF)
vec(AB).vec(AF) = AE x AC x cos(EAC)
vec(AB).vec(AF) = AC x AE x cos(EAC)
vec(AB).vec(AF) = vec(AC).vec(AE)
2) La médiane (AI) du triangle ABC donc I est le milieu du segment [BC]:
vec(AI) = 1/2 (vec(AB)+vec(AC))
3) La relation de Chasles permet de dire que :
vec(EF) = vec(EA)+Vec(AF)
on remplace vec(AI) et vec(EF) par leur valeur donc
vec(AI).vec(EF) = 1/2[vec(AB)+vec(AC)].[vec(EA)+Vec(AF)]
vec(AI).vec(EF) = 1/2[vec(AB).vec(EA) + vec(AB).Vec(AF) +vec(AC).vec(EA)+vec(AC).Vec(AF)]
or
le triangle CAF est rectangle en A donc vec(AC).Vec(AF) = 0
et le triangle BAE est rectangle en A donc vec(AB).vec(EA) = 0
donc
vec(AI).vec(EF) = 1/2[vec(AB).Vec(AF) + vec(AC).vec(EA)]
vec(EA) = -Vec(AE)
vec(AI).vec(EF) = 1/2[vec(AB).Vec(AF) - vec(AC).vec(AE)]
or vec(AB).vec(AF) = vec(AC).vec(AE)
donc
vec(AI).vec(EF) = 1/2[vec(AB).Vec(AF) - vec(AB).vec(AF)]
vec(AI).vec(EF) = 1/2 x 0
vec(AI).vec(EF) = 0
vec(AI) et vec(EF) sont orthogonaux donc la droite (AI) est une hauteur du triangle AEF
