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Sagot :
1.Calculer u1, u2 et u3 . La suite u est elle arithmétique ? géométrique ?
u1=2u0+1=3
u2=2u1+2=8
u3=2u2+3=19
u non arithmétique, non géométrique
car 8-3≠19-8 et 8/3≠19/8
2.On pose maintenant vn=un+n+2 . calculer vo ,v1,v2,v3
v0=u0+2=3
v1=u1+3=6
v2=u2+4=12
3. démontrer que pour tout n,vn+1=2vn
v(n+1)=u(n+1)+n+1+2
=2u(n)+n+1+n+3
=2u(n)+2n+4
=2(u(n)+n+2)
=2v(n)
donc v est géométrique de raison q=2
4.En déduire l'expression de vn en fonction de n.
v(n)=3*2^n
5.Démonter que pour tout n,un=3*2n-n-2
u(n)=v(n)-n-2
=3*2^n-n-2
6. Etudier le sens de variation de U
v(0)>0 et q>1 donc v est croissante
w(n)=n+2 est croissante
donc u est croissante
.
7.Calculer S= u0+u1+u2+.....+un
S=somme(3*2^n)-somme(n+2)
=3*(1-2^(n+1))/(1-2)-(2+n+2)/2*(n+1)
=-3(1-2^(n+1))-(n+4)(n+1)/2
u1=2u0+1=3
u2=2u1+2=8
u3=2u2+3=19
u non arithmétique, non géométrique
car 8-3≠19-8 et 8/3≠19/8
2.On pose maintenant vn=un+n+2 . calculer vo ,v1,v2,v3
v0=u0+2=3
v1=u1+3=6
v2=u2+4=12
3. démontrer que pour tout n,vn+1=2vn
v(n+1)=u(n+1)+n+1+2
=2u(n)+n+1+n+3
=2u(n)+2n+4
=2(u(n)+n+2)
=2v(n)
donc v est géométrique de raison q=2
4.En déduire l'expression de vn en fonction de n.
v(n)=3*2^n
5.Démonter que pour tout n,un=3*2n-n-2
u(n)=v(n)-n-2
=3*2^n-n-2
6. Etudier le sens de variation de U
v(0)>0 et q>1 donc v est croissante
w(n)=n+2 est croissante
donc u est croissante
.
7.Calculer S= u0+u1+u2+.....+un
S=somme(3*2^n)-somme(n+2)
=3*(1-2^(n+1))/(1-2)-(2+n+2)/2*(n+1)
=-3(1-2^(n+1))-(n+4)(n+1)/2
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