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Sagot :
Déterminer la solution f de l'équation
différentielle , dans laquelle y est une fonction de la variable réelle
x définie et dérivable sur R , vérifiant f'0)=1
(E):4y'=y-8 , f(0)=1
on applique la méthode de Liouville :
l'équation homogène (H) est : 4y'=y
donc y'/y=1/4
donc ln(y)=1/4x+c
donc y(x)=K*exp(x/4)
on cherche la solution particulière de (E)
y0(x)=8 car y0'(x)=0 donc 4(y0)'=y0-8
on déduit les solutions générales de (E)
f(x)=y(x)+y0(x)
f(x)=Kexp(x/4)+8
on cherche la solution vérifiant les conditions de Cauchy :
f(0)=1 donc Kexp(0)+8=1
donc K=-7
ainsi : f(x)=-7exp(x/4)+8
(E):4y'=y-8 , f(0)=1
on applique la méthode de Liouville :
l'équation homogène (H) est : 4y'=y
donc y'/y=1/4
donc ln(y)=1/4x+c
donc y(x)=K*exp(x/4)
on cherche la solution particulière de (E)
y0(x)=8 car y0'(x)=0 donc 4(y0)'=y0-8
on déduit les solutions générales de (E)
f(x)=y(x)+y0(x)
f(x)=Kexp(x/4)+8
on cherche la solution vérifiant les conditions de Cauchy :
f(0)=1 donc Kexp(0)+8=1
donc K=-7
ainsi : f(x)=-7exp(x/4)+8
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