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Sagot :
on utilise le raisonnement par récurrence :
soit P(n) : 1^3+2^3+...+n^3 = [1+2+...+n]²
Initialisation :
1^3=[1]² donc P(1) est vraie
Hérédité :
si P(n) est vraie alors
1^3+2^3+...+n^3 = [1+2+...+n]²
donc
1^3+2^3+...+n^3 +(n+1)^3= [1+2+...+n]²+(n+1)^3
1^3+2^3+...+n^3 +(n+1)^3= [n(n+1)/2]²+(n+1)^3
1^3+2^3+...+n^3 +(n+1)^3= (n+1)²[n²/4+n+1]
1^3+2^3+...+n^3 +(n+1)^3= (n+1)²[(n²+4n+4)/4]
1^3+2^3+...+n^3 +(n+1)^3= (n+1)²(n+2)²/4
1^3+2^3+...+n^3 +(n+1)^3= [(n+1)(n+1+1)/2]²
1^3+2^3+...+n^3 +(n+1)^3= [1+2+...+n+n+1]²
donc P(n+1) est vraie
Conclusion :
Pour tout entier n : 1^3+2^3+...+n^3 = [1+2+...+n]²
soit P(n) : 1^3+2^3+...+n^3 = [1+2+...+n]²
Initialisation :
1^3=[1]² donc P(1) est vraie
Hérédité :
si P(n) est vraie alors
1^3+2^3+...+n^3 = [1+2+...+n]²
donc
1^3+2^3+...+n^3 +(n+1)^3= [1+2+...+n]²+(n+1)^3
1^3+2^3+...+n^3 +(n+1)^3= [n(n+1)/2]²+(n+1)^3
1^3+2^3+...+n^3 +(n+1)^3= (n+1)²[n²/4+n+1]
1^3+2^3+...+n^3 +(n+1)^3= (n+1)²[(n²+4n+4)/4]
1^3+2^3+...+n^3 +(n+1)^3= (n+1)²(n+2)²/4
1^3+2^3+...+n^3 +(n+1)^3= [(n+1)(n+1+1)/2]²
1^3+2^3+...+n^3 +(n+1)^3= [1+2+...+n+n+1]²
donc P(n+1) est vraie
Conclusion :
Pour tout entier n : 1^3+2^3+...+n^3 = [1+2+...+n]²
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