Bonsoir Akinshegun53
1) (Un) est une suite arithmétique de raison 3/2 et de premier terme -5.
Donc,
[tex]u_n=u_0+n\times r\\\\u_n=-5+n\times\dfrac{3}{2}\\\\\boxed{u_n=-5+\dfrac{3n}{2}}[/tex]
2) Nous appliquons la formule donnant la somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique :
S = nb de termes (1er terme + dernier terme) / 2
[tex]\sum_{p=0}^{n}\ u_p= (n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}\\\\\sum_{p=0}^{n}\ u_p= (n+1)\dfrac{-5+(-5+\dfrac{3n}{2})}{2}\\\\\sum_{p=0}^{n}\ u_p= (n+1)\dfrac{-10+\dfrac{3n}{2}}{2}\\\\\sum_{p=0}^{n}\ u_p= (n+1)\dfrac{\dfrac{-20+3n}{2}}{2}\\\\\sum_{p=0}^{n}\ u_p= (n+1)\dfrac{-20+3n}{4}[/tex]
[tex]\boxed{\sum_{p=0}^{n}\ u_p= \dfrac{(n+1)(-20+3n)}{4}}[/tex]
3) Nous venons de montrer que :
[tex]\sum_{p=0}^{n}\ u_p= \dfrac{(n+1)(-20+3n)}{4}[/tex]
soit que :
[tex]\sum_{p=0}^{n}\ (-5+\dfrac{3p}{2})= \dfrac{(n+1)(-20+3n)}{4}\\\\\\\sum_{p=0}^{n}\ (\dfrac{-10+3p}{2})= \dfrac{(n+1)(-20+3n)}{4}\\\\\\\sum_{p=0}^{n}\ (\dfrac{3p-10}{2})= \dfrac{(n+1)(-20+3n)}{4}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\sum_{k=0}^{n}\ (3k-10)=2\times \sum_{p=0}^{n}\ (\dfrac{3p-10}{2})\\\\\sum_{k=0}^{n}\ (3k-10)=2\times \dfrac{(n+1)(-20+3n)}{4}\\\\\boxed{\sum_{k=0}^{n}\ (3k-10)=\dfrac{(n+1)(-20+3n)}{2}}[/tex]
