Exercice 1 :
1) a) f(x)=2x-2x²=2x(1-x)
b) g(x)=2x/1-x
g(x) est donc défini sur R privé de 1, qui est valeur interdite.
Le domaine de définition de Dg est donc ]-∞;1[U]1;+∞[
2) a) On cherche f(x)=0,
On trouve donc graphiquement x=0 et x=1
b) Par calcul :
f(x)=0 ⇔ 2x-2x²=0
⇔ -2x²+2x=0
On cherche le discriminant Δ=b²-4ac=4-4*(-2)*0=4
Δ>0, il existe donc deux racines réelles distinctes :
x1=-b+√Δ/2a=-2+2/-4=0/-4=0
x2=-b-√Δ/2a=-2-2/-4=1
On retrouve x=0 et x=1
3) a) On cherche quand g(x)=-4 :
On trouve donc graphiquement x=2
b) Par calcul :
g(x)=-4 ⇔ 2x/1-x=-4
⇔ 2x=-4(1-x)
⇔ 2x=-4+4x
⇔ -2x=-4
⇔ x=-4/-2=2
On retrouve bien x=2
4) a) On cherche quand g(x)≤0 ; soit quand Cg est en dessous de l'axe des abscisses.
On trouve graphiquement : ]-∞;0]U]1;+∞[
b) g(x) ≤ 0 ⇔ 2x/1-x ≤ 0
⇔ 2x ≤ 0 et 1-x ≤ 0
⇔ x ≤ 0 et -x≤-1 soit x>1
On retrouve donc : ]-∞;0]U]1;+∞[
