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Suites numériques
La suite (Un) est définie, pour tout entier naturel n, par:
U0=3
Un+1=(1/4)Un+3

a)calculer U1,U2,U3,U4,U5 La suite (Un) est-elle arithmétique?géométrique?

b)On pose, pout tout entier naturel n, Vn=Un-4. Prouvez que la suite (Un) est géométrique
c)Exprimez Vn puis Un en fonction de n.

Sagot :

Caylus
Bonsoir,
U(0)=3
U(n)=1/4* U(n-1) +3
a)
 U(1)= 1/4* 3+3
 U(2)= 1/4*(1/4*3+3)+3
=(1/4)² *3 +1/4*3 +3
=3* (1/4)² +3(1/4+1)
=3*(1/4)^2 +3*((1/4)²-1)/((1/4)-1)
=3*(1/4)^2-4*((1/4)^2-1)
=3*(1/4)^2-4*(1/4)^2+4
=-(1/4)^2+4
 U(3)=1/4*( (1/4)² *3 +1/4 *3 +3)+3
=3*(1/4)^3 +3(1/4)² + 3*1/4 +3 )
=3*(1/4)^3+ 3((1/4)²+1/4+1)
=3*(1/4)^3 +3*( (1/4)^3-1)/(1/4-1)
=3*(1/4)^3-4*((1/4)^3-1)
=3*(1/4)^3-4*(1/4)^3+4
= -(1/4)^3 +4
U(4)=-(1/4)^4+4
U(5)=-(1/4)^5+4
La suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.

b)
 V(n-1)=U(n-1)-4 =>U(n-1)=V(n-1)+4
V(n)=U(n)-4=1/4*U(n-1)+3-4=1/4* U(n-1)-1
=1/4*(V(n-1)+4)-1
=1/4*V(n-1)+1-1
=1/4*V(n-1)
V(n) est donc géométrique (erreur d'énoncé)
c)
V(0)=U(0)-4=3-4=-1
V(n)=(1/4)^n*(-1)=-(1/4)^n
=>U(n)=V(n)+4=-(1/4)^n +4




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