4/ a) Si n est solution alors n + 35 est également solution car :
n + 35 ≡ 1 + 35 [7] ≡ 36 [7] ≡ 1 [7] tout bêtement car 35 est multiple de 7 et le reste de la division euclidienne de 36 par 7 est 1.
n + 35 ≡ 2 + 35 [5] ≡ 37 [5] ≡ 2 [5] car 35 est multiple de 5 et le reste de la division euclidienne de 37 par 5 est 1.
Donc n + 35 est solution.
Par suite, n + 35q avec q un entier quelconque est aussi solution du système donc ce dernier possède une infinité de solutions.
b) n est solution du système ssi on a :
[tex] \left \{ {{n = 1 + 7q} \atop {n=2 + 5q'}} \right. [/tex] avec q et q' des entiers.
C'est évident car ça découle tout simplement de la définition d'une congruence : si n ≡ 1 [7] alors n - 1 est divisible par 7 donc n - 1 = 7q avec q un entier. D'où n = 1 + 7q.
En égalisant les deux écritures, on a 1 + 7q = 2 + 5q', d'où 7q - 5q' = 1.
