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Sagot :
Dans f(x), on groupe les k(x+k) 2 par 2 en commençant toujours par un k impair.
Notons donc k=2p-1
k(x+k)-(k+1)(x+k+1)=kx-(k+1)x+k²-(k+1)²=-x+(k+k+1)(k-k-1)=-x-(2k+1)
Donc k(x+k)-(k+1)(x+k+1)=-x-2k-1=-x-4p+2-1=-x-4p+1
Il y a 1008 couples k(x+k)-(k+1)(x+k+1) donc
f(x)=-1008x+1008-4*(1+2+3+...+1007+1008)=-1008x+1008-4*1008*1009/2
f(x)=-1008x+1008-2*1008*1009
f(x)=-1008x+1008(1-2018)=-1008x-1008*2017
1) donc f(x)=0 ⇔ -1008x-1008*2017=0 soit x=-2017
2) Si n est impair n s'écrit n=2p+1
Donc f(n)=-1008*(2p+1)-2017*1008
f(n)=-2016p-1008-2017*1008=-2016p-1008*(2017+1)=-2016*p-1009*2016
f(n)=-2016*(1009-p)
donc f(n) est un multiple de 2016
Notons donc k=2p-1
k(x+k)-(k+1)(x+k+1)=kx-(k+1)x+k²-(k+1)²=-x+(k+k+1)(k-k-1)=-x-(2k+1)
Donc k(x+k)-(k+1)(x+k+1)=-x-2k-1=-x-4p+2-1=-x-4p+1
Il y a 1008 couples k(x+k)-(k+1)(x+k+1) donc
f(x)=-1008x+1008-4*(1+2+3+...+1007+1008)=-1008x+1008-4*1008*1009/2
f(x)=-1008x+1008-2*1008*1009
f(x)=-1008x+1008(1-2018)=-1008x-1008*2017
1) donc f(x)=0 ⇔ -1008x-1008*2017=0 soit x=-2017
2) Si n est impair n s'écrit n=2p+1
Donc f(n)=-1008*(2p+1)-2017*1008
f(n)=-2016p-1008-2017*1008=-2016p-1008*(2017+1)=-2016*p-1009*2016
f(n)=-2016*(1009-p)
donc f(n) est un multiple de 2016
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