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Bonjour pourriez vous m'aider je n'arrive pas a trouve la fin de mon devoir maison (merci a Myspace Scientifique)
Voici le debut de mon devoir maison :
1. Affichez sur votre calculatrice,
les suites des nombres (3 k) pour k=0,1,2,3
on obtient : 1 3 3 1
la suite des nombres (4 k) pour k=0,1,2,3,4
on obtient : 1 4 6 4 1
la suite des nombres (5 k) pour k=0,1,2,3,4,5.
on obtient : 1 5 10 10 5 1
Que remarque t-on sur ces suites de nombres?
on observe une suite logique de formule : (n+1 k+1)=(n k)+(n+1 k)
(c'est la célèbre Formule de PASCAL)

Afficher la somme des nombres de chaque suite. Quelle conjecture peut-on émettre sur ces sommes?
cette somme donne les coefficients binomiaux liés à la Loi Binomiale B(n,p)

2.a) Rappeler la definition de (n k) et celle de (n n-k)
\left( \begin{array}{ccc}n\\k\end{array}\right)= \frac{n!}{k!(n-k)!}
\left( \begin{array}{ccc}n\\n-k\end{array}\right)= \frac{n!}{k!(n-k)!}

b) dans un arbre, que se passe-t-il si on intervertit Succès et Echec? A quoi correspond donc aussi (n k)
cela revient au même !

c) En déduire la relation entre (n k) et (n n-k)
(n k)=(n n-k)

d) Application: Si on obtient à la calculatrice (31 12), a t'on besoin de la calculatrice pour obtenir (31 19) ?
(31 12)=(31 19)=141 120 525

Enfin je n'arrive pas la question 3 :
a) Tracer un arbre a trois niveaux. Combien de chemins possède cet arbre? En deduire la valeur de (3 0) + (3 1) + (3 2) + (3 3)

b) Si on prolonge l'arbre précédent d'un niveau supérieur, combien y aura t-il de chemins ? En déduire la valeur de (4 0) + (4 1) + (4 2) + (4 3) + (4 4)

c) Combien de chemins possède un arbre a n niveaux ? En déduire (n 0) + (n 1) +....+ (n n)

Sagot :

a) Tracer un arbre a trois niveaux. Combien de chemins possède cet arbre?
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
... etc
En deduire la valeur de
 (3 0) + (3 1) + (3 2) + (3 3)
=1+3+3+1
=8=2³

b) Si on prolonge l'arbre précédent d'un niveau supérieur, combien y aura t-il de chemins ? 2^4=16 chemins
En déduire la valeur de
(4 0) + (4 1) + (4 2) + (4 3) + (4 4)
=1+4+6+4+1
=16=2^4

c) Combien de chemins possède un arbre a n niveaux ?
N=2^n chemins
En déduire
 (n 0) + (n 1) +....+ (n n)
=1+n+n(n-1)/2+...+n(n-1)/2+1
=2^n
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