f(x) = (x-2)(2x+3)-(x-2)(x+4)
dans tout l’exercice, * signifie multiplié par
1) f(x) = (x-2)(2x+3)-(x-2)(x+4)
f(x) = (x*2x + x*3 -2*2x-2*3) - (x*x+x*4 -2*x-2*4)
f(x) = (2x²+3x-4x-6) - (x²+4x-2x-8)
f(x) = 2x²-x-6 - (x²+2x-8)
f(x) = 2x²-x-6 -x²-2x+8
f(x) = x²-3x+2
2) f(x) = (x-2)(2x+3)-(x-2)(x+4)
le facteur commun est x-2 donc
f(x) = (x-2)[2x+3-(x+4)]
f(x) = (x-2)(2x+3-x-4)
f(x) = (x-2)(x-1)
3) (x-3/2)² -1/4 = x²-2*x*3/2 + (3/2)² -1/4
(x-3/2)² -1/4 = x² -3x + 9/4-1/4
(x-3/2)² -1/4 = x² -3x +8/4
(x-3/2)² -1/4 = x² -3x +2
forme développée de f(x) donc f(x) = (x-3/2)² -1/4 (aussi appelé forme canonique)
4) 1. f(0) on choisit la forme développée, f(x) = x²-3x+2 :
f(0) = 0²-3*0+2 = 2
f(3/2), on choisit la forme canonique, f(x) = (x-3/2)² -1/4 :
f(3/2) = (3/2-3/2)² -1/4 = 0² -1/4 = -1/4
2. f(x) = 0, on choisit la forme factorisée, f(x) = (x-2)(x-1):
(x-2)(x-1) = 0
x-2 = 0 ou x-1 =0
x = 2 ou x = 1
L'équation f(x) = 0 admet 2 solutions x = 1 et x = 2
3. f(x) = 2, on choisit la forme développée, f(x) = x²-3x+2 :
x²-3x+2 = 2
x²-3x = 0
x(x-3) = 0
x = 0 ou x-3 =0 x = 3
L'équation f(x) = 2 admet 2 solutions x = 0 et x = 3
4. f(x) = x-2, on choisit la forme factorisée, f(x) = (x-2)(x-1):
(x-2)(x-1) = x-2
(x-2)(x-1) - (x-2) = 0
(x-2)(x-1 -1) = 0
(x-2)(x-2) = 0
(x-2)² = 0
x-2 =0
x = 2
L'équation f(x) = x-2 admet 1 solution unique x = 2
5. f(x) = 6, comme 6 = 24/4 on choisit la forme canonique, f(x) = (x-3/2)² -1/4 :
(x-3/2)² - 1/4 = 6
(x-3/2)² - 1/4 = 24/2
(x-3/2)² -1/4 -24/4 = 0
(x-3/2)² - 25/4 = 0
(x-3/2)² - (5/2)² = 0
On reconnait une identité remarquable de la forme a² - b² = (a+b)(a-b) avec a = x-3/2 et b = 5/2
(x-3/2 + 5/2)(x-3/2 -5/2) = 0
(x+2/2)(x-8/2) = 0
(x+1)(x-4) = 0
x+1 = 0 ou x-4 = 0
x = -1 ou x = -4
L'équation f(x) = 6 admet 2 solutions x = -1 et x = 4
