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ABC est un triangle rectangle en A :
AB 4 cm
AC 3 cm
M est un point du segment [B C] P et un point du segment AB et Q un point du segment [AC] tels que le quadrilatère A P M Q soit un rectangle .
Notons x la longueur B P en cm .

1.Montrer que P M=3/4 x. (Thalès)
2.Montrer que le périmètre P du rectangle A P M Q est :
P=8 - x sur 2
3. a. Expliquer pourquoi le nombre x doit être compris entre 0 et 4 .

b. Est-il possible de placer un point M sur le segment B C pour que le périmètre du rectangle A P M Q soit égal a 7 cm ? 4 cm ? 10 cm ?


Sagot :

Eliott78


Commencer par réaliser la figure :
Tracer un triangle rectangle ABC avec AB=4 cm et AC=3 cm.
A l'intérieur de ce triangle on trace un rectangle donc les sommets sont Q M P et A
Le point Q appartient à [AC]
Le point M appartient à [BC]
Le point P appartient à [AB]
A est commun avec le triangle ABC rectangle en A.

1] Démontrer que PM = 3/4 de x

Etant en configuration Thalès avec 3 points alignés B, M et C d'une part et B, P et A d'autre part alors (AC) // (PM)
Posons les rapports de proportionnalité suivants
BP/AB = PM/AC

Je remplace par les valeurs que je connais :
x/4 = PM/3

Je calcule PM avec le produit en croix
PM = 3/4 de x

2] Montrer que le périmètre P du rectangle APMQ soit un rectangle.
Notons x la longueur BP en cm.
largeur = 3/4 x
Longueur =  4 - x

P = 2 [(3/4x) + (4 - x)]
P = 2 (3/4x + 4 - 1/1 x)
P = 2 (3/4x + 4 - 4/4x)
P = 2 (3/4x - 4/4x + 4)
P = 2 (-1/4 x + 4)
P = -2/4 x + 8
P = - 1/2x + 8
P = 8 - 1/2x  

3]a) Expliquer pourquoi x doit être compris entre 0 et 4
Effectivement la valeur minimale de x est 0 et la valeur maximale est 4 cm car le point P appartient à [AB] = 4 cm. L'encadrement de x est par conséquent : 0 < x < 4 

3] b) Est il possible de placer un point M sur le segment BC pour que le périmètre du rectangle APMQ soit égal à 4 cm ? 7 cm ? 10 cm ?

Si le périmètre est égal 4cm on a :
-x/2 +8 = 4

x/2 = 8 - 4

x/2 = 4

donc x = 2 × 4

x = 8

x ne peut pas être égal à 8 car sa valeur doit être comprise entre 0 et 4

Si le périmètre est égal à 7cm on a :
-x/2 + 8 = 7
+8 - 7 = x/2
1 = x/2
1×2 = x
 x = 2

Cette valeur x=2 cm est comprise entre 0 et 4 alors quand x=2 le périmètre est pourrait être égale à 7
Je vérifie :
Tout d'abord, avec Thalès je calcule la valeur de PM largeur du rectangle APMG inclus dans le triangle ABC rectangle en A.

BA/BP = AC/MP
4/2 = 3/MP
MP = (3 × 2)/4
MP = 1,5 cm

Quand x = 2 alors le périmètre de APMQ est : 
Formule : 2(longueur + largeur)
P = 2(x + MP)
P = 2 (2 + 1,5)
P = 7 cm

Conclusion : Le périmètre est égal à 7 cm quand x = 2 cm

Si le périmètre est égal à 10 cm on a :
-x/2 + 8 = 10
-x/2 = -8+10
-x/2 = 2
x/2 = -2
x = -2 × 2
x = -4
La valeur de x ne pouvant pas être négative alors le périmètre ne mesure pas 10 cm

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