La construction ne peut pas être tracée dans ce cadre réponse.
Cependant elle n'est pas compliquée il suffit de suivre dans l'ordre le programme de construction :
Tracer en premier lieu, un carré ABCD de 4 cm de côté
I milieu de AB d'où AI = IB = 2 cm
Avec un compas on pique en I et on ouvre un rayon IC pour tracer un cercle.
On prolonge AB jusqu'à couper le cercle en K (près de A) et en K' (près de B)
On trace une tangent à K', on prolonge DC et l'intersection avec la tangente s'appellera le point L
Ainsi on a AKLD qui est un rectangle dont AK représente le nombre d'or.
Ensuite on joint I au point C. On remarque que CBI est un triangle rectangle en B.
Calculs :
4) La figure réalisée est une représentation à l'échelle 4.Ce qui implique que le carré ABCD est de côté 1 cm. A partir d'ici nous utiliserons les dimensions à l'échelle 1.
Donc :
IB = 1/2
BC = 1
Pour calculer IC il suffit d'utiliser le théorème de Pythagore
IC² = IB² + BC²
IC² =1/ 2² + 1²
IC² = 0,25 + 1
IC² = √1,25 autrement dit (√5/2)
IC ≈ 1,1180339887499
La mesure approximative de IC est de 1,11803... sa mesure exacte est √5/2 cm.
Le nombre d'or est la valeur d'un rapport de deux grandeurs homogènes. Il est déterminé par une proportion :
Il y a de la petite partie à la grande, le même rapport que la grande au tout.
C'est la solution positive de l'équation algébrique x² - x - 1 = 0 (ou la racine positive du polynôme x² - x -1)
6) Ainsi si a et b sont les deux grandeurs alors nous aurons :
a / b = (a + b) / a.
a / b = 1 + b / a
pour simplifier, prenons comme variable x = a / b.
alors nous obtenons :
x = 1 + 1 / x
x - 1 - 1 / x = 0
comme x non nul, nous obtenons l'équation suivante que j'ai notée "E"
(E) : x² - x - 1 = 0
qui admet comme racine positive :
x =[tex] \frac{1 + \sqrt{5} }{2} [/tex]
Qui se note "phi" et vaut approximativement 0, 6180339887499...
Δ = 5 => Les solutions de l'équation
x(1) = (1 + √5) / 2
x(2) = (1 - √5) / 2
(1 + √5)²
= 1² + 2 × 1 × √5 + (√5)²
= 1 + 2√5 + 5
= 6 + 2√5
Montrer que f ² = 3/2 + √5 / 2
Phi = (1 + √5)/2
Phi² = [(1+√5)/2] ²
Phi² = (1 +√5)² / 2²
Phi² = (1+2√5+5) 4
Phi² = (6+ 2√5) / 4
Phi² = [2(+3 + √5)] /4
Phi² = (3+√5) / 2
Comparer phi - 1 et phi². Montrer que phi² - phi = 1
phi=(1 + 5)/2 - 1 = (1+√5 - 2) / 2 = (-1+√5)/2=- (1-√5)/2
1/phi = 2 / (1 + √5) = 2(1 - √5)/(1+√5)(1-√5) = 2(16√5²) = 2(1-√5) / (1 - 5) = 2(1-√5)/(-4) = -(1-√5)/2 = phi-1
Phi² = (3+√5) / 2 = phi + 1
Phi² - 1 = phi
Phi - 1 = 1/phi
Le nombre d'or est un rapport précis grâce auquel on peut construire, peindre, sculpter en enrichissant son œuvre d'une forme cachée.
A partir du nombre d'or ont été construits
Le temple de Salomon
La pyramide de Kheops
Le Parthénon (le sculpteur grec Phidias utilise la racine carrée de 5 comme rapport pour sculpter la statue d'Athéna)
Beaucoup d'églises romanes
De nombreux tableaux de la Renaissance respectent aussi cette proportion
La carte bancaire actuelle
autres : l'emplacement du nombril de l'être humain (divine proportion)
Proportion entre la population d'abeilles ouvrières d'une ruche et celle des faux bourdons. Le système solaire