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Sagot :
Introduction :
En algèbre, le plus gros du travail concerne les ensembles d'objets mathématiques (y'a les nombres, les droites, les cercles, les matrices, les vecteurs etc... (tout plein de petit noms que tu verras sans doute plus tard au lycée))
On va donc définir un ensemble. Sur cet ensemble on va lui attribuer des Lois, c'est des successions de taches à effectuer sur un objet.
Tout ca c'est barbare mais je te donne un exemple et tu vas tout comprendre :
On part de l'ensemble des nombres (tout les nombres possible et imaginables, TOUS.) Les mathématiciens appellent R, l'ensemble des réels. On y a posé des lois, et en fait tu les utilises tout le temps : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.
Donc quand tu fais juste 1+1 tu es dans l'ensemble des réels et tu viens d'utiliser la loi de l'addition
En algèbre c'est très utile surtout quand on fait de la théorie sur d'autres ensembles, on peut créer des nouvelles opérations etc... Donc il faut un vocabulaire commun. Donc ca si tu veux c'est la base de l'algèbre.
Attaquons nous au coeur de ta question :
On va se réduire à l'ensemble des entiers relatifs (de son symbole Z)
Un élément de Z ce sera par exemple 1 c'est un entier, et il est positif. -1 est aussi un élément de Z, il est entier mais négatif. Et 1≠-1 !!!! c'est pas du tout le meme nombre. 1+1=2 mais 1+(-1) = 0 et pas 2 donc ce n'est pas le meme nombre.
Pour l'addition :
ensuite, les opérations ne sont pas tout à fait les memes. Il faut raisonner en "thermomètre" pour les relatifs.
En dessous de zéro, il y a les négatifs (comme un vrai thermomètre en fait) et au dessus les positifs.
Si tu effectues l'opération 2+(-1) en fait, tu commences à 2, ton premier nombre, et tu vas descendre de 1 unité et tu regarde la graduation. En fait faire 2+(-1) ca équivaut à faire 2-1 qui vaut bien sur 1.
un autre exemple, -4+(-2) tu te places à -4 et du descends de 2 unités, ce qui te donne -6.
pour ca il faudra beaucoup s'entrainner, à faire et refaire des calculs jusqu'à ce que ca devienne autant naturel que pour les entiers positifs (ca a l'air chiant et difficile mais ca n'est que chiant, c'est facile, il ne faut SURTOUT pas se précipiter)
Maintenant quand tu dis changement de signes, dans les deux exemples du haut, on part des positifs et on reste dans les positifs et on part des négatifs et on reste dans les négatifs.
Mais si par exemple je fais 5+(-10) (c'est comme 5-10) je pars de 5 et je descends de 10 unités. On t'as dit que 5-10 c'est pas possible, en fait c'est que on fait entrer en compte le signe, le nombre négatif (à savoir -10) est plus grand si tu enlèves son signe que 5 (car 10>5 , normal) là tu descends en dessous de zéro et tu changes de signe.
Inversément, si tu as -2+5, tu commences à -2 et tu remontes de 5 unités ici, le nombre négatif (à savoir -2) est plus petit si tu lui enlèves son signe que 5 (car 2<5, normal) là tu remontes au dessus du zéro et tu changes de signe.
Pour la multiplication :
Là c'est tout bete, il faut apprendre :
si je multiplie un positif par un positif j'ai un positif
si je multiplie un négatif par un négatif j'ai un positif
si je multiplie un négatif par un positif j'ai un négatif
si je multiplie un positif par un négatif j'ai un négatif
en gros :
+ x + = +
- x - = +
- x + = -
+ x - = -
et pour le nombre qui suit le signe, c'est la multiplication des deux nombres sans les signes :
4 x 5 = 20
(-5) x (-3) = 15
(-8) x 2 = -16
4 x (-6) = 24
Pour la division :
Memes règles que la multiplication
Pour la soustraction :
C'est comme l'addition mais il y a un piège, si je te dis 5-2 le résultat c'est 3 normal, mais si je fais 5-(-2), là il faut résonner en thermomètre, tu te places à 5 et tu descends de -2 unités.... Et là ca coince, comment je fais -2 unités ?
En fait ton - devant le (-2) il va s'écrire +(-(-2)), en fait il va se multiplier face à ta parenthèse et laisser sa place à une addition.
Lorsque tu écris (-(-2)) c'est comme si c'était ((-1) x(-2)) ce qui fait 2
donc en fait 5 - (-2) équivaut à 5 + 2, c'est ca le piège, soustraire un nombre négatif, il faut en fait le "convertir"
Rassures toi, avec le temps, ce sera de plus en plus facile pour toi ce genre de choses.
Pour résumer, tu vas changer de signes QUE selon l'opération que tu fait entre tes entiers relatifs et c'est tout ! jamais autrement. Si tu as besoin, tu peux m'envoyer un message privé, ou commenter j'y répondrais ;)
J'ai essayé d'etre le plus complet possible sur les possibilités de changements de signes en algèbre, au niveau de 3eme (ton niveau scolaire changera juste le vocabulaire employé c'est tout), sachant que j'ai pas réexpliqué toute la théorie des entiers relatifs car normalement tu as des cours là dessus depuis la 5eme je crois. Mais si t'as besoin n'hésites pas ;)
En algèbre, le plus gros du travail concerne les ensembles d'objets mathématiques (y'a les nombres, les droites, les cercles, les matrices, les vecteurs etc... (tout plein de petit noms que tu verras sans doute plus tard au lycée))
On va donc définir un ensemble. Sur cet ensemble on va lui attribuer des Lois, c'est des successions de taches à effectuer sur un objet.
Tout ca c'est barbare mais je te donne un exemple et tu vas tout comprendre :
On part de l'ensemble des nombres (tout les nombres possible et imaginables, TOUS.) Les mathématiciens appellent R, l'ensemble des réels. On y a posé des lois, et en fait tu les utilises tout le temps : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.
Donc quand tu fais juste 1+1 tu es dans l'ensemble des réels et tu viens d'utiliser la loi de l'addition
En algèbre c'est très utile surtout quand on fait de la théorie sur d'autres ensembles, on peut créer des nouvelles opérations etc... Donc il faut un vocabulaire commun. Donc ca si tu veux c'est la base de l'algèbre.
Attaquons nous au coeur de ta question :
On va se réduire à l'ensemble des entiers relatifs (de son symbole Z)
Un élément de Z ce sera par exemple 1 c'est un entier, et il est positif. -1 est aussi un élément de Z, il est entier mais négatif. Et 1≠-1 !!!! c'est pas du tout le meme nombre. 1+1=2 mais 1+(-1) = 0 et pas 2 donc ce n'est pas le meme nombre.
Pour l'addition :
ensuite, les opérations ne sont pas tout à fait les memes. Il faut raisonner en "thermomètre" pour les relatifs.
En dessous de zéro, il y a les négatifs (comme un vrai thermomètre en fait) et au dessus les positifs.
Si tu effectues l'opération 2+(-1) en fait, tu commences à 2, ton premier nombre, et tu vas descendre de 1 unité et tu regarde la graduation. En fait faire 2+(-1) ca équivaut à faire 2-1 qui vaut bien sur 1.
un autre exemple, -4+(-2) tu te places à -4 et du descends de 2 unités, ce qui te donne -6.
pour ca il faudra beaucoup s'entrainner, à faire et refaire des calculs jusqu'à ce que ca devienne autant naturel que pour les entiers positifs (ca a l'air chiant et difficile mais ca n'est que chiant, c'est facile, il ne faut SURTOUT pas se précipiter)
Maintenant quand tu dis changement de signes, dans les deux exemples du haut, on part des positifs et on reste dans les positifs et on part des négatifs et on reste dans les négatifs.
Mais si par exemple je fais 5+(-10) (c'est comme 5-10) je pars de 5 et je descends de 10 unités. On t'as dit que 5-10 c'est pas possible, en fait c'est que on fait entrer en compte le signe, le nombre négatif (à savoir -10) est plus grand si tu enlèves son signe que 5 (car 10>5 , normal) là tu descends en dessous de zéro et tu changes de signe.
Inversément, si tu as -2+5, tu commences à -2 et tu remontes de 5 unités ici, le nombre négatif (à savoir -2) est plus petit si tu lui enlèves son signe que 5 (car 2<5, normal) là tu remontes au dessus du zéro et tu changes de signe.
Pour la multiplication :
Là c'est tout bete, il faut apprendre :
si je multiplie un positif par un positif j'ai un positif
si je multiplie un négatif par un négatif j'ai un positif
si je multiplie un négatif par un positif j'ai un négatif
si je multiplie un positif par un négatif j'ai un négatif
en gros :
+ x + = +
- x - = +
- x + = -
+ x - = -
et pour le nombre qui suit le signe, c'est la multiplication des deux nombres sans les signes :
4 x 5 = 20
(-5) x (-3) = 15
(-8) x 2 = -16
4 x (-6) = 24
Pour la division :
Memes règles que la multiplication
Pour la soustraction :
C'est comme l'addition mais il y a un piège, si je te dis 5-2 le résultat c'est 3 normal, mais si je fais 5-(-2), là il faut résonner en thermomètre, tu te places à 5 et tu descends de -2 unités.... Et là ca coince, comment je fais -2 unités ?
En fait ton - devant le (-2) il va s'écrire +(-(-2)), en fait il va se multiplier face à ta parenthèse et laisser sa place à une addition.
Lorsque tu écris (-(-2)) c'est comme si c'était ((-1) x(-2)) ce qui fait 2
donc en fait 5 - (-2) équivaut à 5 + 2, c'est ca le piège, soustraire un nombre négatif, il faut en fait le "convertir"
Rassures toi, avec le temps, ce sera de plus en plus facile pour toi ce genre de choses.
Pour résumer, tu vas changer de signes QUE selon l'opération que tu fait entre tes entiers relatifs et c'est tout ! jamais autrement. Si tu as besoin, tu peux m'envoyer un message privé, ou commenter j'y répondrais ;)
J'ai essayé d'etre le plus complet possible sur les possibilités de changements de signes en algèbre, au niveau de 3eme (ton niveau scolaire changera juste le vocabulaire employé c'est tout), sachant que j'ai pas réexpliqué toute la théorie des entiers relatifs car normalement tu as des cours là dessus depuis la 5eme je crois. Mais si t'as besoin n'hésites pas ;)
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