Bonjour 1w00YRWa
1) Si un carré est de côté a, alors la diagonale mesure [tex]a\sqrt{2}[/tex]
Donc
[tex]AC=AB\sqrt{2}\\\\AO=\dfrac{AC}{2}\\\\AO=\dfrac{AB\sqrt{2}}{2}[/tex]
Par Pythagore dans le triangle SOA rectangle en O :
[tex]SA^2=AO^2+SO^2\\\\12^2=(\dfrac{AB\sqrt{2}}{2})^2+h^2\\\\144=\dfrac{AB^2}{2}+h^2\\\\\dfrac{AB^2}{2}=144-h^2\\\\\boxed{AB^2=288-2h^2}[/tex]
2) a) Volume de la pyramide :
[tex]V(h)=\dfrac{AB^2\times h}{3}\\\\V(h)=\dfrac{(288-2h^2)\times h}{3}\\\\V(h)=\dfrac{288h-2h^3}{3}\\\\V(h)=\dfrac{-2h^3}{3}+\dfrac{288h}{3}\\\\\boxed{V(h)=\dfrac{-2}{3}h^3+96h}[/tex]
b) Variations de V(h) :
[tex]V'(h)=(\dfrac{-2}{3}h^3+96h)'\\\\V'(h)=-2h^2+96[/tex]
Tableau de signe de la dérivée et variation de V sur [0 ; 12].
Racines de -2h²+96
[tex]-2h^2+96=0\\-h^2+48=0\\h^2=48\\\\h=\pm\sqrt{48}=\pm4\sqrt{3}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccccc|} x&-\infty&&-4\sqrt{3}&&0&&4\sqrt{3}&&12&&+\infty \\V'(h)&&-&0&+&+&+&0&-&-&-& \\V(h)&&|&|&|&0&\nearrow&V(4\sqrt{3})&\searrow&0&|&\\ \end{array}[/tex]
ou encore,
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&4\sqrt{3}&&12 \\V'(h)&&+&0&-& \\V(h)&0&\nearrow&V(4\sqrt{3})&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
3) Le volume de la pyramide sera maximal si [tex]\boxed{h=4\sqrt{3}\ cm\approx6,9\ cm}[/tex]
Or
[tex]V(4\sqrt{3})=-\dfrac{2}{3}\times(4\sqrt{3})^3+96\times 4\sqrt{3}\\\\V(4\sqrt{3})=256\sqrt{3}[/tex]
Le volume correspondant est [tex]\boxed{256\sqrt{3}\ cm^3\approx 443,4\ cm^3}[/tex]
