ex1 :
le dénominateur doit être différent de 0 -> n ≠ -4
[tex] \frac{3n+8}{n+4}= \frac{3(n+4)-4}{n+4}= \frac{3(n+4)}{n+4}- \frac{4}{n+4}=3- \frac{4}{n+4} [/tex]
il faut donc que -4 doit divisible par n+4
Liste des diviseurs de -4 : -4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4
Ainsi : n+4 ∈ { -4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4}
Donc n ∈ {-8 ; -6 ; -5 ; -3 ; -2 ; 0}
ex2)
nous devons montrer que pour tout entier naturel n, PGCD(2n+3 ; n²+3n+2) = 1
Soit d un diviseur de 2n + 3 et de n² + 3n + 2
n² + 3n + 2 = (n+1)(n+2)
d divise 2n + 3 et (n+1)(n+2) :
cas 1) d divise 2n + 3 et n+1
d divise (2n+3 - 2(n+1)) ⇒ d divise 1 ⇒ d = 1 ou d = -1
cas 2) d divise 2n + 3 et n + 2
d divise (2n + 3 - 2(n+2)) ⇒ d divise -1 ⇒ d = 1 ou d = -1
Dans tous les cas, d = 1 ou d = -1
D'où : PGCD (2n + 3 ; n² + 3n + 2) = 1
Ainsi : 2n + 3 et n² + 3n + 2 sont premiers entre eux
