Bonsoir Anaismamy
[tex]f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x-2}[/tex]
C passe par le point A (0;5) ==> f(0) = 5
[tex]f(0)=5\\\\\dfrac{a\times0^2+b\times0+c}{0-2}=5\\\\\dfrac{c}{-2}=5\\\\\boxed{c=-10}[/tex]
L'expression de f(x) peut alors s'écrire : [tex]f(x)=\dfrac{ax^2+bx-10}{x-2}[/tex]
La tangente à C au point A et parallèle à l'axe des abscisses ==> f'(0)=0
-La tangente à C au point B d'abscisse 1 a pour coefficient directeur -3 ==> f'(1)=-3
[tex]f'(x)=\dfrac{(2ax+b)(x-2)-1\times(ax^2+bx-10)}{(x-2)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2ax^2-4ax+bx-2b-ax^2-bx+10}{(x-2)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{ax^2-4ax-2b+10}{(x-2)^2}
[/tex]
[tex]f'(0)=0\Longleftrightarrow \dfrac{a\times0^2-4a\times0-2b+10}{(0-2)^2}=0\\\\\Longleftrightarrow \dfrac{-2b+10}{4}=0\\\\\Longleftrightarrow -2b+10=0\\\\\Longleftrightarrow -2b=-10\\\\\Longleftrightarrow \boxed{b=5}[/tex]
[tex]f'(1)=-3\Longleftrightarrow \dfrac{a\times1^2-4a\times1-2b+10}{(1-2)^2}=-3\\\\\Longleftrightarrow \dfrac{a-4a-2b+10}{1}=-3\\\\-3a-2b+10=-3\\\\Or\ b=5\\\\-3a-10+10=-3\\\\-3a=-3\\\\\boxed{a=1}[/tex]
Par conséquent,
[tex]a=\ 1\ ;\ b=5\ ;\ c=-10\\\\\boxed{f(x)=\dfrac{x^2+5x-10}{x-2}}[/tex]
(Graphique en pièce jointe)
