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Sagot :
D'une part :
Si x≥1 alors x-1≥0 et 3(x-1)≥0
Donc 3x-3≥0 soit 4x-x-2-1≥0
⇔ 2(2x-1)-(x+1)≥0
⇔ 2(2x-1)≥(x+1)
⇔ 2(2x-1)/(x+1)≥1
⇔ (2x-1)/(x+1)≥1/2
D'autre part, pour x≥1
2x-1≤2x
x+1≥x donc 1/(x+1)≤1/x
Donc en multipliant les 2 inégalités :
(2x-1)/(x+1)≤2x/x
Soit (2x-1)/(x+1)≤2
Soit l'encadrement suivant :
1/2≤(2x-1)/(x+1)≤2
Si x≥1 alors x-1≥0 et 3(x-1)≥0
Donc 3x-3≥0 soit 4x-x-2-1≥0
⇔ 2(2x-1)-(x+1)≥0
⇔ 2(2x-1)≥(x+1)
⇔ 2(2x-1)/(x+1)≥1
⇔ (2x-1)/(x+1)≥1/2
D'autre part, pour x≥1
2x-1≤2x
x+1≥x donc 1/(x+1)≤1/x
Donc en multipliant les 2 inégalités :
(2x-1)/(x+1)≤2x/x
Soit (2x-1)/(x+1)≤2
Soit l'encadrement suivant :
1/2≤(2x-1)/(x+1)≤2
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