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Sagot :
{U₀=1 ; Un₊₁=1/3Un+n-1
et Vn= 4Un-6n+15
1- Calculer
U₁=-2/3
V₀=19
V₁=19/3
2-a) Montrer que (Vn) est géométrique
V(n+1)=4U(n+1)-6(n+1)+15
=4*(1/3U(n)+n-1)-6n-6+15
=4/3U(n)-2n+5
=4/3(1/4(V(n)+6n-15)-2n+5
=1/3V(n)+2n-5-2n+5
=1/.V(n)
donc (Vn) est géométrique de raison q=1/3
b) Exprimer Vn en fonction de n
V(n)=V(0)*(1/3)^n
V(n)=19(1/3)^n
c) Exprimer Un en fonction de n et vérifier que Un= 19/4×1/3^n +6n-15/4
U(n)=1/4(V(n)+6n-15)
donc Un= 19/4×1/3^n +6n-15/4
d) Calculer Sn= V₀+V₁+....+Vn en fonction de n
S(n)=19*(1-(1/3)^(n+1))/(1-1/3)
S(n)=57/2(1-(1/3)^(n+1))
3) On pose:
tn=19/4×1/3^n, et Wn= 6n-15/4
a)Montrer que (tn) est géométrique et que (Wn) est arithmétique.
t(n+1)=19/4*(1/3)^(n+1)
=19/4*1/3*(1/3)^n
=1/3*t(n)
donc (t) est géométrique de raison q=1/3
W(n+1)=6(n+1)-15/4
=6n-15/4+6
=W(n)+6
donc (W) est arithmétique de raison r=6
b) Calculer, en fonction de n
S= t₀+t₁+...+tn
S=19/4.(1-(1/3)^(n+1))/(1-1/3)
S=57/8(1-(1/3)^(n+1))
S'= W₀+W₁+...+Wn
S'=(-15/4+6n-15/4)/2*(n+1)
S'=(-15/4+3n)(n+1)
c) En déduire, en fonction de n,
S'n= U₀+U₁+....Un
S'n=S+S'=57/8(1-(1/3)^(n+1))+(-15/4+3n)(n+1)
et Vn= 4Un-6n+15
1- Calculer
U₁=-2/3
V₀=19
V₁=19/3
2-a) Montrer que (Vn) est géométrique
V(n+1)=4U(n+1)-6(n+1)+15
=4*(1/3U(n)+n-1)-6n-6+15
=4/3U(n)-2n+5
=4/3(1/4(V(n)+6n-15)-2n+5
=1/3V(n)+2n-5-2n+5
=1/.V(n)
donc (Vn) est géométrique de raison q=1/3
b) Exprimer Vn en fonction de n
V(n)=V(0)*(1/3)^n
V(n)=19(1/3)^n
c) Exprimer Un en fonction de n et vérifier que Un= 19/4×1/3^n +6n-15/4
U(n)=1/4(V(n)+6n-15)
donc Un= 19/4×1/3^n +6n-15/4
d) Calculer Sn= V₀+V₁+....+Vn en fonction de n
S(n)=19*(1-(1/3)^(n+1))/(1-1/3)
S(n)=57/2(1-(1/3)^(n+1))
3) On pose:
tn=19/4×1/3^n, et Wn= 6n-15/4
a)Montrer que (tn) est géométrique et que (Wn) est arithmétique.
t(n+1)=19/4*(1/3)^(n+1)
=19/4*1/3*(1/3)^n
=1/3*t(n)
donc (t) est géométrique de raison q=1/3
W(n+1)=6(n+1)-15/4
=6n-15/4+6
=W(n)+6
donc (W) est arithmétique de raison r=6
b) Calculer, en fonction de n
S= t₀+t₁+...+tn
S=19/4.(1-(1/3)^(n+1))/(1-1/3)
S=57/8(1-(1/3)^(n+1))
S'= W₀+W₁+...+Wn
S'=(-15/4+6n-15/4)/2*(n+1)
S'=(-15/4+3n)(n+1)
c) En déduire, en fonction de n,
S'n= U₀+U₁+....Un
S'n=S+S'=57/8(1-(1/3)^(n+1))+(-15/4+3n)(n+1)
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