Bonsoir Cla1412
La pyramide et le pavé sont représentés dans la pièce jointe n°1 (Figure 1)
Soit la pyramide SABCD de sommet S, de base carrée ABCD et de hauteur SH = 8.
Soit le pavé rectangle IKLJFGME de base carré et de hauteur FI = x.
On sait que AB = 10.
Notons par R et T les milieux respectifs de [AD] et [BC].
Notons par N et O les milieux respectifs de [FE] et [GM].
Coupons la pyramide par le plan SRT.
La section de cette pyramide est donnée dans la pièce jointe n°2 (Figure 2).
1) Le volume du réservoir V(x) est donné par :
[tex]V(x)=Aire_{carr\acute{e}\ FGME}\ \times\ FI\\\\\boxed{V(x)=FG^2\ \times\ FI}[/tex]
On sait que FG=NO et que FI = x
Dans la figure 2, nous pouvons appliquer une propriété du théorème de Thalès dans le triangle SRT.
[tex]\dfrac{RT}{NO}=\dfrac{SH}{SP}[/tex]
Or RT = AB = 10
NO = FG
SH = 8
SP = SH - PH = 8 - x
D'où :
[tex]\dfrac{10}{FG}=\dfrac{8}{8-x}\\\\8\times FG=10\times(8-x)\\\\ FG=\dfrac{10}{8}\times(8-x)\\\\ FG=\dfrac{5}{4}\times(8-x)[/tex]
Par conséquent,
[tex]V(x)=FG^2\ \times\ FI\\\\V(x)=[\dfrac{5}{4}\times(8-x)]^2\ \times\ x\\\\V(x)=\dfrac{25}{16}\times(8-x)^2\ \times\ x\\\\V(x)=\dfrac{25}{16}\times(64-16x+x^2)\ \times\ x\\\\V(x)=\dfrac{25}{16}\times(64x-16x^2+x^3)\\\\\boxed{V(x)=\dfrac{25}{16}\times(x^3-16x^2+64x)}[/tex]
2) Etudions le signe de la dérivée V'(x) et les variation de la fonction V.
[tex]V'(x)=[\dfrac{25}{16}\times(x^3-16x^2+64x)]'\\\\V'(x)=\dfrac{25}{16}\times(x^3-16x^2+64x)'\\\\V'(x)=\dfrac{25}{16}\times(3x^2-32x+64)\\\\V'(x)=\dfrac{75}{16}x^2-\dfrac{800}{16}x+\dfrac{1600}{16}\\\\V'(x)=\dfrac{75}{16}x^2-50x+100\\\\\Delta=(-50)^2-4\times\dfrac{75}{16}\times100=625=25^2\ \textgreater \ 0[/tex]
[tex]x_1=\dfrac{50-25}{\dfrac{75}{8}}=25\times\dfrac{8}{75}=\dfrac{8}{3}\\\\x_2=\dfrac{50+25}{\dfrac{75}{8}}=75\times\dfrac{8}{75}=8[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&\frac{8}{3}&&8 \\ V'(x)&&+&0&-&0 \\ V(x)&0&\nearrow&\dfrac{3200}{27}\approx118,52&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
La contenance du réservoir sera maximale si x = 8/3.
Dans ce cas,
[tex]\dfrac{5}{4}\times(8-x)=\dfrac{5}{4}\times(8-\dfrac{8}{3})=\dfrac{20}{3}[/tex]
Par conséquent,
Les dimensions qu'il faut donner au réservoir pour qu'il ait la plus grande contenance sont :
Longueur : 20/3 m (≈ 6,7 m),
Largeur : 20/3 m (≈ 6,7 m)
Hauteur : 8/3 m (≈ 2,7 m).
Le volume du réservoir vaudra alors 3200/27 m^3 ≈ 118,5 m^3.
