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Sagot :
a/ Pour remplir la salle, il faut déjà ôter le nombre de places qui sont certaines d'être vendues, même à vingt euros :
[tex]1180-400=780[/tex]
Puis on divise ce nombre de places restant à pourvoir par 5 puisqu'à chaque diminution de dix centimes, on s'assure cinq spectateurs supplémentaires :
[tex]780 / 5=156[/tex]
On sait donc qu'il faut procéder à 156 diminutions du prix de dix centimes pour remplir la salle, soit un prix final du billet de :
[tex]20-156*0,1=20-15,6=4,4[/tex] euros.
On peut voir que ce n'est pas rentable car, auquel cas, le revenu de la soirée de spectacle s'élèvera à [tex]1180*4,4=5192[/tex] euros. Le groupe se produira à perte puisqu'il loue sa salle 6987,5 euros.
b/ On a besoin de poser un polynôme en un entier qui va nous résoudre le problème. On sait que le montant des recettes de la soirée [tex]u_n[/tex] va être le produit du nombre de spectateurs par le prix de leur billet d'entrée. Donc pour tout entier naturel n, on a :
[tex]u_n=(400+5n)(20-0,1n)[/tex]
[tex]u_n=8000-40n+100n-0,5n^2=-0,5n^2+60n+8000[/tex]
Dans notre cas, il faut vérifier quand [tex]u_n=6987,5[/tex] :
[tex]u_n=6987,5[/tex]
[tex]-0,5n^2+60n+8000=6987,5[/tex]
[tex]-0,5n^2+60n+1012,5=0[/tex]
Puis, c'est un calcul de discriminant classique :
[tex]\Delta = 60^2-4(-0,5)*1012,5[/tex]
[tex]\Delta = 3600+2*1012,5[/tex]
[tex]\Delta = 3600+2025[/tex]
[tex]\Delta = 5625[/tex]
Ce discriminant est positif, deux résultats sont donc possibles :
[tex]n_1= \frac{-60+ \sqrt{5625}}{-2*0,5} = \frac{-60+75}{-1} =-15[/tex]
[tex]n_2= \frac{-60- \sqrt{5625}}{-2*0,5}= \frac{-60-75}{-1}= \frac{-135}{-1}=135[/tex]
Une seule de ces solutions est possible puisque notre entier doit être un naturel donc, pour ne pas perdre d'argent, il faut diminuer le prix de départ du billet 135 fois, c'est-à-dire :
[tex]20-0,1*135=20-13,5=6,5[/tex] euros la place de concert.
c/ À toi de travailler un peu ! Avec ce modèle, ce ne sera pas dur !
[tex]1180-400=780[/tex]
Puis on divise ce nombre de places restant à pourvoir par 5 puisqu'à chaque diminution de dix centimes, on s'assure cinq spectateurs supplémentaires :
[tex]780 / 5=156[/tex]
On sait donc qu'il faut procéder à 156 diminutions du prix de dix centimes pour remplir la salle, soit un prix final du billet de :
[tex]20-156*0,1=20-15,6=4,4[/tex] euros.
On peut voir que ce n'est pas rentable car, auquel cas, le revenu de la soirée de spectacle s'élèvera à [tex]1180*4,4=5192[/tex] euros. Le groupe se produira à perte puisqu'il loue sa salle 6987,5 euros.
b/ On a besoin de poser un polynôme en un entier qui va nous résoudre le problème. On sait que le montant des recettes de la soirée [tex]u_n[/tex] va être le produit du nombre de spectateurs par le prix de leur billet d'entrée. Donc pour tout entier naturel n, on a :
[tex]u_n=(400+5n)(20-0,1n)[/tex]
[tex]u_n=8000-40n+100n-0,5n^2=-0,5n^2+60n+8000[/tex]
Dans notre cas, il faut vérifier quand [tex]u_n=6987,5[/tex] :
[tex]u_n=6987,5[/tex]
[tex]-0,5n^2+60n+8000=6987,5[/tex]
[tex]-0,5n^2+60n+1012,5=0[/tex]
Puis, c'est un calcul de discriminant classique :
[tex]\Delta = 60^2-4(-0,5)*1012,5[/tex]
[tex]\Delta = 3600+2*1012,5[/tex]
[tex]\Delta = 3600+2025[/tex]
[tex]\Delta = 5625[/tex]
Ce discriminant est positif, deux résultats sont donc possibles :
[tex]n_1= \frac{-60+ \sqrt{5625}}{-2*0,5} = \frac{-60+75}{-1} =-15[/tex]
[tex]n_2= \frac{-60- \sqrt{5625}}{-2*0,5}= \frac{-60-75}{-1}= \frac{-135}{-1}=135[/tex]
Une seule de ces solutions est possible puisque notre entier doit être un naturel donc, pour ne pas perdre d'argent, il faut diminuer le prix de départ du billet 135 fois, c'est-à-dire :
[tex]20-0,1*135=20-13,5=6,5[/tex] euros la place de concert.
c/ À toi de travailler un peu ! Avec ce modèle, ce ne sera pas dur !
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